lunedì 28 novembre 2016

Operazioni sugli insiemi: unione ed intersezione

Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo a vederne due e, precisamente, l’unione e l’intersezione.
Teniamo conto che, se consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni:

CASO 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.



CASO 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B.



CASO 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme proprio.

Per ognuno di questi tre casi vedremo ora le operazioni di unione e di intersezione.

Teniamo conto che l’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo È.

L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo Ç.

1° CASO.
Consideriamo l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}.
Per elencazione:
A = {a; e; i; o ; u}
B = {b; c; d; f }
I due insiemi A e B sono disgiunti, non ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {a; e; i; o ; u; b; c; d; f} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B.
AÇB = Æ - L’intersezione è un insieme vuoto perché non ci sono elementi in comune.


2° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia}
B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto}
I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = { Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia; Spagna; Tunisia; Grecia; Egitto} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B, considerando una volta sola gli elementi comuni ad A e B.
AÇB = { Francia; Italia}  - L’intersezione è l’insieme con gli elementi comuni Francia ed Italia.

3° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi}
B = {Pirlo; Chiellini; Buffon}
L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme proprio.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi} - L’unione è formata dall’insieme A perché tutti gli elementi di B appartengono ad A
AÇB = {Pirlo; Chiellini; Buffon}- L’intersezione è l’insieme B perché sono gli elementi di B in comune con gli elementi di A.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Qual è il significato di questi simboli?
CÈD
CÇD

2.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m}
B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

3.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una lettera della parola “armadio”}
B = {b/b è una lettera della parola “radio”}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

4.      Dati questi due insiemi:

A = {mela; pera; albicocca}
B = {pesca; prugna
Rappresenta per elencazione e graficamente:
AÈB
AÇB

giovedì 17 novembre 2016

I sottoinsiemi

Consideriamo ora questi insiemi e rappresentiamoli graficamente:
A = {a/a è lettera della parola cuore}
B = {b/b è una lettera della parola ore}
C = {c/c è una lettera della parola dati}


Possiamo dire che l'insieme B è un sottoinsieme proprio dell'insieme A perchè ogni elemento di B appartiene ad A, ma c'è almeno un elemento di A che non appartiene a B. Sono invece sottoinsiemi impropri l'insieme vuoto Æ e l'insieme A stesso.

Consideriamo ora un insieme A:
A = {Luca; Marco; Giorgio}
Vediamo quali sono i suoi possibili sottoinsiemi:
{ {Luca}; {Marco}; {Giorgio}; {Luca; Marco}; {Luca; Giorgio}; {Marco; Giorgio}; {Luca; Marco; Giorgio}; Æ}
I primi sei sono i sottoinsiemi propri, mentre gli altri due sono sottoinsiemi impropri.
Se indico con B uno qualsiasi di questi sottoinsiemi, con la scrittura
B Ì A indico uno qualsiasi dei sottoinsiemi propri di A mentre con la scrittura
B Í A (si legge " B contenuto o uguale ad A) indico uno qualsiasi dei sottoinsiemi di A.

L'INSIEME DELLE PARTI

L'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A si chiama insieme delle parti di A e si indica con Ã(A) .
Se abbiamo
A = {a/a è una vocale della parola paperone}
l'insieme Ã(A) sarà (notate che i primi due sottoinsiemi sono impropri, gli altri sono propri):
Ã(A) = {Æ; {a;e;o}; {a}; {e}; {0}; {a;e}; {a;o}; {e;o} }

LA PARTIZIONE DI UN INSIEME 

Cosa significa fare una partizione in un insieme? Consideriamo l'insieme A formato da alcune regioni italiane:
A = {Piemonte; Liguria; Veneto; Toscana; Marche; Puglia; Campania; Calabria} e formiamo tre sottoinsiemi:
B = {b/b è una regione dell'Italia Settentrionale}
C = {c/c è una regione dell'Italia Centrale}

D = {d/d è una regione dell'Italia Meridionale}
Per elencazione avremo:
B = {Piemonte; Liguria; Veneto}

C = {Toscana; Marche}

D = {Puglia; Campania; Calabria}
Osserviamo le caratteristiche di questi sottoinsiemi:
  • Non ci sono elementi in comune tra i sottoinsiemi (infatti, se una regione appartiene, ad esempio, all'Italia Centrale, non può appartenere anche all'Italia Settentrionale)
  • Nessuno di questi sottoinsiemi è vuoto.
  • Riunendo i sottoinsiemi otteniamo di nuovo l'insieme di partenza A.
In questo caso abbiamo fatto una partizione dell'insieme A.
Operare una partizione dell'insieme significa dunque suddividerlo in due o più sottoinsiemi che devono rispettare queste condizioni:
- non devono avere elementi in comune
- non devono essere vuoti
- riuniti tutti i sottoinsiemi, si deve ottenere l'insieme di partenza.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE
1. Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono sottoinsiemi dell'insieme A:
A = {a/a è un pesce}


B = {trota; carpa; tinca; sogliola}
C = {orata; squalo; rondine; cane}
D = {sardina; acciuga; pesce spada; branzino}
E = {trota; orata; acciuga; alga}
2. Spiega il significato delle seguenti notazioni e rappresentale graficamente
  • X Ì Z
  • X Ì Z ÌY
  • X Ì Z - Y Ì Z - Y Ë X
3. Rappresenta per elencazione tutti i possibili sottoinsiemi propri dell'insieme A = {a; b; c}. Quanti sono?

4. Rappresenta per elencazione tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri dell'insieme A = {2; 4; 6}. Quanti sono?

5. Dato l'insieme A = {uva; mela; pera} individua tra i seguenti qual è l'insieme delle parti di A
- Ã(A) = {Æ; {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera}; {uva;mela; pera} }.
- Ã(A) = { {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera} {uva;mela; pera} }.
- Ã(A) = {Æ; {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera} }.

6. Perchè gli insiemi A = {1; 2; 3; 4} e C = {3; 4; 5; 6} non sono una partizione dell'insieme X = {1; 2; 3; 4; 5; 6}?

7. Esegui la partizione del seguente insieme sulla base del numero di lettere da cui è formata ogni parola e poi rappresenta la partizione graficamente:
    A = {ago; reo; vai; nemo; topo; rosa; mano; amaro; acido}


mercoledì 9 novembre 2016

Insiemi e rappresentazione degli insiemi

Un insieme, in senso matematico, si può definire tale solo se si può affermare con certezza l'appartenenza o la non appartenenza di un elemento all'insieme.
Le vocali dell'alfabeto italiano sono un insieme.
I film più divertenti usciti nelle sale nel mese di ottobre non sono un insieme matematico perchè non sappiamo con certezza se un film è divertente o no: può esserlo per me, non per te.

Le persone, cose, animali ... che appartengono ad un insieme sono gli elementi dell'insieme, per indicare i quali si usano le lettere minuscole. Per indicare gli insiemi si usano invece le lettere maiuscole. Considerando l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano e chiamandolo insieme A avremo:
A = {a, e, i, o, u} che si legge "l'insieme A formato dagli elementi a, e, i, o, u".
Per indicare l'appartenenza di un elemento ad un insieme si usano i simboli
 Possiamo avere insiemi finiti, infiniti, vuoti.
L'insieme degli abitanti di Imperia è un insieme finito.
L'insieme dei numeri naturali maggiori di 10 è un insieme infinito.
L'insieme degli elefanti senza proboscide è un insieme vuoto e si indica Ø.


Vediamo ora i 3 modi in cui possono essere rappresentati gli insiemi: consideriamo l'insieme A delle province della Liguria.
  • per elencazione (si scrivono entro parentesi graffa tutti gli elementi dell'insieme, separati dal punto e virgola)
A = {Imperia; Savona; Genova; La Spezia}
  • per caratteristica (si scrive entro parentesi graffa la proprietà comune a tutti gli elementi dell'insieme)
A = {a/a è una provincia della Liguria}. Il simbolo / si legge "tale che" quindi leggiamo "L'insieme A formato dagli elementi a tali che ogni a è una provincia della Liguria"
  • graficamente (con i diagrammi di Eulero-Venn

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.



ESERCIZI DA STAMPARE

1. Indica con i simboli appropriati queste due affermazioni: "L'elemento b appartiene all'insieme B" - "L'elemento c non appartiene all'insieme B".
2. Indica quali delle seguenti frasi definiscono in modo corretto un insieme:
2.1 I laghi dell'Italia
2.2 I parchi più belli d'Italia
2.3 Le squadre di calcio italiane più forti
2.4 Le squadre della serie A di basket
2.5 Le città italiane più grandi
2.6 I comuni della Liguria

3. Indica quali insiemi sono infiniti, finiti o vuoti
3.1 {I capoluoghi di regione italiani}
3.2 {I numeri dispari maggiori di 100}
3.3 {I numeri naturali minori di 10 formati da due cifre}
3.4 {Gli alunni della classe 1A della Scuola Media "N. Sauro"}
3.5 {gli abitanti della Cina}
3.6 {I numeri naturali maggiori di 20}
4. Rappresenta l'insieme dei giorni della settimana:
4.1 per elencazione
4.2 per caratteristica
4.3 graficamente
5. Dato l'insieme X =  {b, c, d, f, g, h, m} indica se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a Î X
d Ï X
Î X
m Î X
n Ï X
h Ï X
b Î X

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
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Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
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Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca