mercoledì 11 gennaio 2017

Gli enti geometrici fondamentali: punto, retta, piano

La geometria studia la forma, la grandezza e la posizione dei corpi materiali.
Gli enti geometrici fondamentali sono tre: il punto, la retta ed il piano. Essi costituiscono delle astrazioni.
Cominciamo dal punto geometrico: non ha alcuna grandezza, ma solo una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto.




Un insieme infinito e continuo di punti che hanno sempre la stessa direzione costituisce una retta. Come già il punto, anche la retta non esiste nella realtà materiale perché non ha né spessore né larghezza. L’unica dimensione della retta è la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto.

Vediamo ora il piano, anche questo non esistente nella realtà concreta, perché è un insieme continuo ed infinito di rette, privo di spessore, con due sole dimensioni: lunghezza e larghezza. Per indicarlo si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, δ, ....).

Cerchiamo di capire ora alcune proprietà degli enti fondamentali.
Per un punto A passano infinite rette.


Per due punti distinti A e B passa una sola retta.


Per tre punti distinti passa una sola retta, solo se i tre punti sono allineati.


Per una retta passano infiniti piani

Per tre punti non allineati passa un solo piano.


Vediamo quali possono essere le posizioni reciproche di due rette.



La retta t e la retta s appartengono al piano α (s, t   α). Infatti l’insieme dei punti della retta s e l’insieme dei punti della retta t sono inclusi nel piano α
{s} {t}  {α}.
L’intersezione tra la retta s e la retta t (ciò che hanno in comune) è costituita dal punto Q.
{s}  {t} = Q.
Le due rette sono quindi incidenti perché appartengono allo stesso piano ed hanno un punto in comune.


La retta c appartiene al piano γ mentre la retta d non appartiene al piano γ ( γ; d  γ). Infatti l’insieme dei punti della retta c è incluso nel piano γ  mentre l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano γ
{c}  {γ}; {d}  ⊄ {γ}.
L’intersezione tra la retta c e la retta d (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{c}  {d}.
Le due rette sono quindi sghembe perché non appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.


La retta a e la retta b appartengono al piano β (a, b   β). Infatti l’insieme dei punti della retta a e l’insieme dei punti della retta b sono inclusi nel piano β.
{a} {b}  {β}.
L’intersezione tra la retta a e la retta b (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{a}  {b}.
Le due rette sono quindi parallele perché appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Il postulato delle parallele: considerata una retta ed un punto non appartenente alla retta, per quel punto passa una sola retta parallela a quella data.


Se consideriamo una retta ed un piano e le loro posizioni reciproche possiamo avere queste situazioni:


La retta a giace nel piano α. La retta a appartiene al piano α (a  α). Infatti l’insieme dei punti della retta a è incluso nel piano α.
{a}  {α}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è costituita dalla retta stessa  {a}  {α} = a.



La retta b è parallela al piano β. La retta b non appartiene al piano β (b  β). Infatti l’insieme dei punti della retta b non è incluso nel piano β.
{b} ⊄ {β}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto  {b}  {β}.



La retta d è incidente al piano δ. La retta d non appartiene al piano δ (d  δ). Infatti l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano δ.
{d} ⊄ {δ}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è il punto P  {d}  {δ} = P.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

  1. Quante e quali dimensioni ha la retta?
  2. Quante rette passano per un punto?
  3. Quante rette passano per due punti?
  4. Quante e quali dimensioni ha il piano?
  5. Disegna tre punti A, B e C in un piano δ, in modo che ci sia una sola retta che li unisca. Come devono essere i tre punti?
  6. Disegna tre rette a, b, c appartenenti allo stesso piano e che godano di queste proprietà
a  b  c
Come sono tra loro le rette?
  1. Guarda la figura e completa le uguaglianze
a  b = …..
d  c = …..
a  d = …..
b  c = …..


mercoledì 14 dicembre 2016

Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.
Vediamola tra insiemi intersecati. Siano
A = {rosso; verde; giallo; rosa}
B = {nero; verde; blu; giallo}
Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:
A – B = D oppure A\B = D oppure ancora
A\B = {rosso; rosa}
Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.
A = {1; 3; 5; 7}
B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}
B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.
A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}
B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.
B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi
A = {
B = {
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti
A = {5; 10; 15; 20; 25}
B = {3; 6; 9}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

3.      Sia
A = {a; b; c; d; e}
B = {a; e}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {


lunedì 28 novembre 2016

Operazioni sugli insiemi: unione ed intersezione

Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo a vederne due e, precisamente, l’unione e l’intersezione.
Teniamo conto che, se consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni:

CASO 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.



CASO 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B.



CASO 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme proprio.

Per ognuno di questi tre casi vedremo ora le operazioni di unione e di intersezione.

Teniamo conto che l’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo È.

L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo Ç.

1° CASO.
Consideriamo l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}.
Per elencazione:
A = {a; e; i; o ; u}
B = {b; c; d; f }
I due insiemi A e B sono disgiunti, non ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {a; e; i; o ; u; b; c; d; f} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B.
AÇB = Æ - L’intersezione è un insieme vuoto perché non ci sono elementi in comune.


2° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia}
B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto}
I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = { Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia; Spagna; Tunisia; Grecia; Egitto} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B, considerando una volta sola gli elementi comuni ad A e B.
AÇB = { Francia; Italia}  - L’intersezione è l’insieme con gli elementi comuni Francia ed Italia.

3° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi}
B = {Pirlo; Chiellini; Buffon}
L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme proprio.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi} - L’unione è formata dall’insieme A perché tutti gli elementi di B appartengono ad A
AÇB = {Pirlo; Chiellini; Buffon}- L’intersezione è l’insieme B perché sono gli elementi di B in comune con gli elementi di A.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Qual è il significato di questi simboli?
CÈD
CÇD

2.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m}
B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

3.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una lettera della parola “armadio”}
B = {b/b è una lettera della parola “radio”}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

4.      Dati questi due insiemi:

A = {mela; pera; albicocca}
B = {pesca; prugna
Rappresenta per elencazione e graficamente:
AÈB
AÇB

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca