Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

sabato 29 ottobre 2011

Le divisioni in N

Dividendo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione.
La divisione gode della proprietà:
·        Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero.
Es.: 252 : 9 = 28
(252 : 3) : (9 : 3) =
84 : 3 = 28
(84 x 5) : (3 x 5) = 420 : 15 = 28

·        Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun numero della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.
Es.: (32 + 12) : 4 = 44 : 4 = 11 ma anche
(32 : 4) + (12 : 4) = 8 + 3 = 11

(30 – 20) : 5 = 10 : 5 = 2 ma anche
(30: 5) – (20 : 5) = 6 – 4 = 2

Per eseguire una divisione in colonna con numeri decimali, possiamo distinguere questi due casi:
  1. solo il dividendo è decimale ( si esegue la divisione normalmente e si mette la virgola nel quoziente quando si considera la prima cifra decimale del dividendo)
Es.: 415, 52 : 53

  1. il divisore è decimale (occorre applicare la proprietà invariantiva della divisione per rendere intero il divisore e poi si procede normalmente)
Es.: 273 : 6,5 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 10 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 2 730 : 65)
Es.: 43, 725 : 8,25 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 100 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 4372,5 : 825)

ESERCIZI

  1. Scrivi se V (vero) o F (falso)
    • La divisione è un’operazione interna all’insieme N
    • L’insieme N è aperto rispetto alla divisione
    • L’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione
    • Considerati due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che è il loro quoziente

  2. Di quali proprietà gode la divisione?
  3. Quale proprietà è stata applicata nelle seguenti uguaglianze?
·        36 : 4 = (36 : 2) : (4 : 2)
·        15 : 5 = (15 x 4) : (5 x 4)
·        (24 + 40) : 8 = (24 : 8) + (40 : 8)
·        120 : 6 = (120: 3) : (6: 3)
·        (39 – 18) : 3 = (39: 3) – (18 : 3)

  1. Esegui applicando la proprietà invariantiva come nell’esempio
Es.: 72 : 6
(72 : 3) : (6 : 3) = 24 : 2 = 12
(72 x 3) : (6 x 3) = 216 : 18 = 12

27 : 9
48 : 8
42 : 6

  1. Esegui applicando la proprietà distributiva
(24 + 10) : 2
(27 – 12) : 3
(49 – 21 + 14) : 7

  1. Esegui in colonna e scrivi il risultato
45,44 : 8
96,48 : 24
3 444 : 0,6
15,689 : 2,9
9234 : 1,8

sabato 22 ottobre 2011

La moltiplicazione in N

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione.
La moltiplicazione gode quindi della proprietà:
·        commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
Es.: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6
Possiamo anche dire:
" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)
a x b = b x a
·        associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto.
Es.: 4 x 10 x 7 = 40 x 7
Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c
·        dissociativa: il prodotto di 2 o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
Es.: 15 x 12 = 3 x 5 x 2 x 6
Possiamo anche dire:
" a,b, c, d є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c, d appartenente ad N”)
a x b = a x (c x d)      con c x d = b
Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà:
·        distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun numero della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti.
Es.:      13 x  18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234
14 x 15 =  14 x (20 – 5) = (14 x 20) – (14 x 5) = 280 – 70 = 210

Per eseguire una moltiplicazione in colonna considera inizialmente i fattori come interi anche se hanno cifre decimali. Moltiplica ogni cifra del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo così dei prodotti parziali che ogni volta scriverai spostandoti a sinistra di una posizione.
Al termine somma i prodotti parziali e separa, a partire da destra, tante cifre decimali quante sono quelle dei due fattori considerati insieme.
Es.: 8, 21 x 5,4



ESERCIZI

1) 1) Se consideriamo due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che sia il loro prodotto?
2.  2) L’insieme N è aperto o chiuso rispetto alla moltiplicazione?
3.  3) Enuncia la proprietà dissociativa della moltiplicazione ed illustrala con un esempio.
4.  4) Quale enunciato spiega in modo corretto la proprietà associativa della moltiplicazione?
·         Il prodotto di tre o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
·         Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
·         Il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo due o più di essi con un fattore uguale al loro prodotto.
5.  5) Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?
6 x 3 x 4 x 8 = 18 x 32
20 x 15 = 5 x 4 x 3 x 5
5 x 9 x 6 = 5 x 6 x 9
7 x (8 – 2) = (7 x 8) – (7 x 2)
6.  6) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà commutativa:
   2 x 16 x 5 =
7.  7) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà associativa come vedi nell’esempio:
4 x 6 x 3 =

8 x 6 x 5 =
8.  8) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà distributiva come vedi nell’esempio:
6 x 18 = 6 x (10 + 8) = (6 x 10) + (6 x 8) = 60 + 48 = 108
8 x 23 =
9) Metti in colonna e scrivi il risultato
172 x 5,2 =
6, 34 x 73 =
112, 3 x 7, 25 =

sabato 15 ottobre 2011

Addizione e sottrazione in N

Se sommiamo due numeri appartenenti ad N il totale sarà un altro numero ancora appartenente a N: possiamo quindi dire che l’addizione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.
L’addizione gode delle seguenti proprietà, che ci aiutano in molti casi a velocizzare e semplificare i calcoli:
·        Commutativa: la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Possiamo anche dire:
" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)
a + b = b + a
·        Associativa: la somma di 3 o più addendi non cambia associando a 2 o più addendi la loro somma. Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
·        Dissociativa: la somma di 2 o più addendi non cambia se scomponiamo un addendo in altri la cui somma sia uguale all’addendo stesso. Possiamo anche dire:
" a,b, c, d є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c, d appartenente ad N”)
a + b = a + (c + d)          con c + d = b

Se eseguiamo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.
La sottrazione gode della proprietà:
·        Invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo. Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a – b = (a + c) – (b + c)
a – b = (a – c) – (b – c)

Per eseguire addizioni e sottrazioni in colonna occorre scrivere nella stessa colonna le unità dello stesso ordine sia intere che decimali, pareggiando le cifre decimali considerando come decimali anche i numeri interi.
Si inizia a sommare o sottrarre dalla colonna più a destra e nel risultato la virgola sarà sotto alle altre virgole.
Es.: 453 + 22, 13 + 3,7
Es.: 8456 – 318,279
Abbiamo visto che nella sottrazione, se il minuendo è minore del sottraendo, non è possibile eseguire l’operazione in N. E’ quindi necessario allargare l’ambito numerico considerando non solo i numeri interi positivi, ma introducendo anche i numeri interi negativi.
N+ + N-  formano l’insieme dei numeri interi relativi, detto insieme Z.

ESERCIZI

1.      L’addizione è un’operazione interna all’insieme N?
2.      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
3.      Qual è l’insieme indicato dalla lettera Z?
4.      Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?
·        8 + 7 + 2 = 8 + 2 + 7
·        38 + 12 + 5 = 30 + 8 + 12 + 5
·        30 + 6 + 9 = 36 + 9
·        36 – 7 = (36 – 6) – (7 – 6)
·        5 + 7 + 8 + 2 = 12 + 10
·        6 + 3 + 4 = 6 + 4 + 3
·        23 + 16 + 14 = 20 + 10 + 10 + 6 + 4 + 3

5.      Esegui queste addizioni applicando le tre proprietà come vedi nell’esempio:
·        32 + 15 + 18 =
39 + 16 + 11
43 + 8 + 27
6.      Esegui queste sottrazioni applicando la proprietà invariantiva come vedi nell’esempio:
·        38 - 15 =
35 - 23
68 – 22
64 - 36
7.      Metti in colonna e scrivi il risultato
72, 154 + 7,003 + 3, 519
61,84 + 1,5 + 2, 88 + 78,62
3860,47 – 317,31

sabato 8 ottobre 2011

Angoli e rette

Due angoli della stessa ampiezza sono congruenti.
Due angoli la cui somma sia un angolo retto si dicono complementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo piatto si dicono supplementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari.

a + b = 90°    a e b sono angoli complementari
d + e = 180°   d e e sono angoli supplementari
w + g = 360°   w e g sono angoli esplementari

Consideriamo ora due rette parallele appartenenti allo stesso piano ed una terza retta incidente ad entrambe. Otteniamo 8 angoli che a coppie godono di alcune proprietà

Consideriamo solo queste coppie

Se invece vediamo queste altre coppie

Consideriamo ora questa situazione

Quindi, per esemplificare, l’angolo 1 è congruente all’angolo 4 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 8 perché angoli alterni esterni, è congruente all’angolo 5 perché angoli corrispondenti.
L’angolo 3, ad esempio, è congruente all’angolo 2 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 6 perché angoli alterni interni, è congruente all’angolo 7 perché angoli corrispondenti.
In sintesi:
1≡4≡5≡8
2≡3≡6≡7

Consideriamo ancora:


ESERCIZI

1.      Due angoli si dicono congruenti quando ……………………
2.      Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è ……………….
3.      Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è ……………….
4.      Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è ……………….
5.      Se abbiamo un angolo acuto, l’angolo supplementare può essere un altro angolo acuto? Perché?
6.      



Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni esterni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        1 ≡ 8
·        7 ≡ 2
·        7 ≡ 8
·        7 ≡ 1

7.     

Individua con colori diversi le coppie di angoli corrispondenti. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 8
·        7 ≡ 4
·        3 ≡ 4
·        5 ≡ 1

8.       
Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni interni interni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 5
·        4 ≡ 6
·        4 ≡ 3
·        3 ≡ 6





lunedì 3 ottobre 2011

Sistema di numerazione: l'insieme N

Il nostro sistema di numerazione è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero.
Il nostro sistema di numerazione è decimale perché si raggruppa per dieci, in questo modo:
·        Le cifre da 0 a 9 sono chiamate unità del 1° ordine
·        10 unità del 1° ordine formano una decina (unità del 2° ordine)
·        10 unità del 2° ordine formano un centinaio (unità del 3° ordine)
·        10 unità del 3° ordine formano un migliaio (unità del 4° ordine)
·        10 unità del 4° ordine formano una decina di migliaia (unità del 5° ordine)
·        10 unità del 5° ordine formano un centinaio di migliaia (unità del 6° ordine)
e così via.
Abbiamo quindi vari ordini, che vengono raggruppati per 3 in gruppi, chiamati classi, per renderne più facile la lettura e la scrittura.


Consideriamo, ad esempio, il numero
13 045 523
e vediamo due modi in cui è possibile indicare il valore di ogni cifra. Possiamo scomporre così:

oppure  mediante la scomposizione polinomiale:
3 + 2 x 10 + 5 x 100 + 5 x 1 000 + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 000 + 1 x 10 000 000
Finora abbiamo parlato di numeri interi positivi e sappiamo che sono infiniti: questi numeri si chiamano naturali ed appartengono all’insieme N dei numeri naturali che è quindi un insieme ordinato (posso stabilire con certezza quale numero precede o segue un altro) ed infinito che si può rappresentare nei soliti 3 modi:
­       per elencazione            N = {0; 1; 2, 3, …….}
­       per caratteristica          N = {x/x è un numero naturale}
­       graficamente con il diagramma di Eulero - Venn

ESERCIZI

1.      Completa
Le unità del 1° ordine sono …………………….
Le unità del 2° ordine sono …………………….
Le unità del 3° ordine sono …………………….
Le unità del 4° ordine sono …………………….
Le unità del 5° ordine sono …………………….
Le unità del 6° ordine sono …………………….
Gli ordini si raggruppano per tre in gruppi chiamati …………………..
2.      Indica il valore di ogni cifra effettuando la scomposizione polinomiale del numero:
7 321 047
3.      Scrivi qual è il numero espresso in forma polinomiale:
  • 4 + 8 x 10 + 6 x 100 + 2 x 1 000 + 9 x 10 000 + 2 x 100 000
  • 6 x 1 000 + 5 x 10 000 + 1 x 100 000
  • 3 + 5 x 10 + 6 x 10 000 + 4 x 100 000
  • 9 x 10 000 + 3 x 100 000
4.      Dividi in classi i seguenti numeri e poi scrivili in lettere
3433896
6008472
9107328
6000708
5310801270
5.      Scrivi i numeri formati da:
2 milioni, 8 centinaia, 4 decine e 9 unità
9 decine di migliaia, 6 migliaia, 7 decine
1 decina di migliaia, 5 migliaia, 1 centinaio, 7 decine e 3 unità
12 migliaia, 7 centinaia e 5 unità
28 centinaia, 4 decine e 6 unità
6.      Spiega che cos’è l’insieme N
7.      Scegli qual è l’insieme corretto, se A = {n/n è un numero naturale con n < 10}
  • {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
  • {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
  • {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}
  • {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca