Un numero non primo si dice composto: ad esempio 15 è un numero composto.
Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.
Ad esempio il numero composto 15 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 5.
Come possiamo ottenere la fattorizzazione di un qualunque numero, ad esempio 1400?
- Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
- Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 1400 è divisibile per 2; scriviamo perciò 2 a destra di 1400
- Scriviamo il quoziente 700 sotto a 1400 e procediamo: 700 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 350
- 350 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 175
- 175 non è divisibile per 2, non è divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
- 35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
- 7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 1400 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7
Vediamo un altro esempio, scomponendo in fattori primi 525
- Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
- Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 525 è divisibile per 3; scriviamo perciò 3 a destra di 525
- Scriviamo il quoziente 175 sotto a 525 e procediamo: 175 non è più divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
- 35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
- 7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 525 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7
Altri esempi di scomposizione:
Possiamo usare la fattorizzazione per scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità.
Per sapere se due numeri qualsiasi, ad esempio 24570 e 455, sono divisibili, dobbiamo scomporre entrambi in fattori primi.
Abbiamo ottenuto che
24570 = 2 x 33 x 5 x 7 x 13
455 = 5 x 7 x 13
Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale (criterio generale di divisibilità).
Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.
Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.
Se i due numeri sono divisibili possiamo trovare il quoziente senza eseguire la divisione. Il quoziente sarà dato dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, mettendo come esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore.
Pertanto il quoziente sarà
Applichiamo lo stesso procedimento per controllare se 4356 e 198 sono divisibili.
I due numeri sono divisibili perché tra i fattori del dividendo ci sono tutti i fattori del divisore 2, 3, 11 con esponente maggiore o uguale. Il quoziente sarà
ESERCIZI
· Scomponi in fattori primi: 245 – 840 – 584 - 6130
· Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente
756 e 63
7007 e 539
41503 e 539
3245 e 65
