Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

mercoledì 28 novembre 2012

Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini


Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  ed operiamo con queste frazioni sulla medesima grandezza, questa:
Otteniamo:


Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale, abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre casi.
Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  sono equivalenti e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.

Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?
Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che

Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette alcuni utilizzi molto importanti.
Ad esempio permette di semplificare una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è più semplice operare.
Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.
Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi modi.
Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra loro.
Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27; 20/7; 25/20

Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere una frazione equivalente ed irriducibile.

Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.

Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile.
Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.
Vediamo un esempio:
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126

48
2
24
2
12
2
6
2
3
3
1

126
2
63
3
21
3
7
7
1








48 = 24 x 3                  126 = 2 x 32 x 7
M.C.D. = 2 x 3 = 6


Un altro esempio
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150

45
3
15
3
5
5
1

150
2
75
3
25
5
5
5
1








45 = 32 x 5                  150 = 2 x 3 x 52
M.C.D. = 3 x 5 = 15


ESERCIZI

·     Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?
·     Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile?
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti
2/3; 6/7; 4/6; 3/2; 6/8; 6/9; 12/18; 18/21;
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili
20/30; 5/3; 4/8; 7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili
12/18; 6/5; 3/14; 9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24
·     Completa le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro

·     Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
34/126; 66/77; 15/50; 27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca