sabato 25 febbraio 2012

Bisettrici, mediane ed assi del triangolo

Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AD che partendo dal vertice A raggiunga il lato opposto dividendo a metà l’angolo in A
Il segmento AD si chiama bisettrice dell’angolo A.
Possiamo quindi dire che si chiama bisettrice di un triangolo relativa ad un vertice quel segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo.
Poiché un triangolo ha 3 vertici e tre angoli , le bisettrici di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre bisettrici si incontrano in un unico punto detto incentro.
L’incentro è sempre interno al triangolo ed ha sempre la stessa distanza da ciascuno dei lati.


Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AE che partendo dal vertice A raggiunga il punto medio del lato opposto.
Il segmento AE si chiama mediana relativa al lato BC.
Possiamo dunque affermare che si chiama mediana di un triangolo relativa ad un lato quel segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto.
Poiché un triangolo ha 3 lati , le mediane di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro.
Il baricentro è sempre interno al triangolo.

Un’altra proprietà del baricentro è data dal fatto che esso divide ogni mediana in due parti di cui una è il doppio dell’altra. Nel triangolo sotto il baricentro O fa sì che:
AO = 2 OD
CO = 2 OF
BO = 2 OE
Consideriamo un qualunque triangolo ed il suo lato AB, mettiamo D punto medio del lato AB e  tracciamo una retta a perpendicolare ad AB e passante per il punto medio D.
La retta a si chiama asse relativa al lato AB

Possiamo dunque affermare che si chiama asse di un triangolo relativo ad un lato quella retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio.
Poiché un triangolo ha 3 lati , gli assi di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.
Come vediamo nella figura sopra, in un triangolo acutangolo, il circocentro è sempre interno.
Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno al triangolo.

Nei triangoli rettangoli il circocentro coincide sempre con il punto medio dell’ipotenusa.
ESERCIZI

·        Che cos’è la bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre bisettrici?
·        Che cos’è la mediana relativa ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre mediane?
·        Che cos’è l’asse relativo ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro dei tre assi?
·        Quali tra questi punti sono sempre interni ad un qualunque triangolo
­       incentro
­       baricentro
­       ortocentro
­       circocentro
·        Determina l’incentro di questo triangolo
·        Determina il baricentro di questo triangolo
·        Determina il circocentro di questo triangolo
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domenica 19 febbraio 2012

I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.
Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.
Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.
Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:
triangolo equilatero: 3 lati congruenti
triangolo isoscele: 2 lati congruenti
triangolo scaleno: 3 lati disuguali
Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele
Classifichiamo i triangoli rispetto all’ampiezza degli angoli in:
triangolo acutangolo: tre angoli acuti
triangolo rettangolo: un angolo è retto
triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.
In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.
Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.

ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?
·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?
·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?
·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo
a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20
d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26
g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18
·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo
a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46
d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70
·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?
·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?
·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?
·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali
·        Quante sono le altezze di un triangolo?
·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?
·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?
·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?
·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli
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sabato 11 febbraio 2012

Scomposizione in fattori primi

Un numero non primo si dice composto: ad esempio 15 è un numero composto.
Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.
Ad esempio il numero composto 15 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 5.
Come possiamo ottenere la fattorizzazione di un qualunque numero, ad esempio 1400?

-         Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-         Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 1400 è divisibile per 2; scriviamo perciò 2 a destra di 1400
-         Scriviamo il quoziente 700 sotto a 1400 e procediamo: 700 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 350
-         350 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 175
-         175 non è divisibile per 2, non è divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 1400 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7

Vediamo un altro esempio, scomponendo in fattori primi 525

-        Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-        Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile
il numero di partenza; nel nostro caso 525 è divisibile per 3; scriviamo perciò 3 a destra di 525
-         Scriviamo il quoziente 175 sotto a 525 e procediamo: 175 non è più divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 525 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7
Altri esempi di scomposizione:
 
Possiamo usare la fattorizzazione per scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità.
Per sapere se due numeri qualsiasi, ad esempio 24570 e 455, sono divisibili, dobbiamo scomporre entrambi in fattori primi
Abbiamo ottenuto che
24570 = 2 x 33 x 5 x 7 x 13
455 = 5 x 7 x 13
Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale (criterio generale di divisibilità).  Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.
Se i due numeri sono divisibili possiamo trovare il quoziente senza eseguire la divisione. Il quoziente sarà dato  dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, mettendo come esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore.
Pertanto il quoziente sarà
Applichiamo lo stesso procedimento per controllare se  4356 e 198 sono divisibili

I due numeri sono divisibili perché tra i fattori del dividendo ci sono tutti i fattori del divisore 2, 3, 11 con esponente maggiore o uguale. Il quoziente sarà
ESERCIZI

·        Scomponi in fattori primi: 245 – 840 – 584 - 6130
·        Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente
756 e 63
7007 e 539
41503 e 539
3245 e 65

sabato 4 febbraio 2012

Divisibilità e numeri primi

24 : 4 = 6 resto 0
25 : 3 = 8 resto 1
25 non è divisibile per 3
24 è divisibile per 4 e quindi 4 è un divisore di 24.
Generalizzando, possiamo dire che un numero x è divisibile per un numero y se x : y dà un numero esatto senza resto. Se così è possiamo anche dire che:
x è divisibile per y, quindi x è un multiplo di y
y è un divisore di x, quindi y è un sottomultiplo di x.
I multipli di un numero sono infiniti, mentre i sottomultipli sono in numero finito.

Esistono dei criteri per stabilire in alcuni casi se un numero è divisibile per un altro.

Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari: 0, 2, 4, 6, 8
3 268 è divisibile per 2, 5 471 non è divisibile per 2.

Un numero è divisile per 3 se sommando tutte le sue cifre otteniamo un multiplo di 3
7 218 è divisibile per 3 perché 7 + 2 + 1 + 8 = 18 e 18 è un multiplo di 3
8 725 non è divisibile per 3 perché 8 + 7 + 2 + 5 = 22 e 22 non è un multiplo di 3
93 è divisibile per 3 perché 9 + 3 = 12 e 12 è un multiplo di 3.

Un numero è divisile per 4 se le ultime due cifre sono due “zeri” o sono multipli di 4
600 è divisibile per 4
4 328 è divisibile per 4
21 708 è divisibile per 4
32 861 non è divisibile per 4

Un numero è divisile per 5 se l’ultima cifra è 0 o 5
565 è divisibile per 5
3 450 è divisibile per 5
6 587 non è divisibile per 5

Per stabilire se un numero è divisibile per 11 dobbiamo sommare le cifre di posto dispari e quelle di posto pari: la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari deve essere 0, 11 o un multiplo di 11
12 455 non è divisibile per 11 perché
1 + 4 + 5 = 10 2 + 5 = 7         10 – 7 = 3
638 è divisibile per 11 perché
6 + 8 = 14                   14 – 3 = 11
46 695 è divisibile per 11 perché
4 + 6 + 5 = 15             6 + 9 = 15       15 – 15 = 0
359 294 804  è divisibile per 11 perché
3 + 9 + 9 + 8 + 4 = 33                        5 + 2 + 4 + 0 = 11      33 – 11 = 22

Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha quindi solo 2 divisori: 1 e se stesso.
Il numero 1 non è considerato numero primo.
Entro il 10 i numeri primi sono 2, 3, 5, 7.
Il matematico e geografo Eratostene ideò quello che ancora oggi è forse il metodo più efficace per estrarre liste di numeri primi tra due numeri dati: il famoso crivello di Eratostene. Se, ad esempio, vogliamo trovare i numeri compresi tra 1 e 100, scriviamo tutti i numeri dal 2 al 100.

Eliminiamo tutti i numeri multipli di 2 che non possono essere primi (lasciamo però il 2)

Eliminiamo tutti i multipli di 3 (lasciamo però il 3)

Eliminiamo tutti i multipli di 5 (lasciamo però il 5)

Eliminiamo tutti i multipli di 7  (lasciamo però il 7)

Eliminiamo tutti i multipli di 11  (lasciamo però l’11): ci accorgiamo che non ci sono multipli di 11. I numeri rimasti nella tabella sono i numeri primi compresi tra 1 e 100.
Esistono comunque liste già preparate di numeri primi (ricorda che anche i numeri primi sono infiniti): ecco un link per consultare una tabella dei numeri primi fino a 10 000

ESERCIZI
·        Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b?
·        Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b?
·        Quando un numero si dice primo?
·        Al posto dei puntini inserisci “è divisibile per” oppure “è divisore di”
54 ……………………………………………. 9
4 ……………………………………………. 32
13 ……………………………………………. 26
3 ……………………………………………. 18
6 ……………………………………………. 24
8 ……………………………………………. 4
·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 2?
8178    7393    6954    1778    7417    3130    9909    5976    7718    5045

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 3? E quali sono divisibili contemporaneamente per 2 e per 3?
7431    818      2586    9021    8208    4171    8501    8515    3838    9113

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 4?
3636    7072    533      8009    718      6630    6738    6008    1100    4612

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 5? E quali sono divisibili contemporaneamente per 4 e per 5?
8500    2728    1935    1640    6382    6576    9815    6335    8803    9445

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 11?
5577    4577    5500    3550    444      9119

·        In questa serie di numeri quali sono i numeri primi?
21        76        3          57        65        92        100      7          89        13


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca