Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

La simmetria assiale


La simmetria assiale è una trasformazione geometrica originata da un ribaltamento di asse a. Questo asse è detto asse di simmetria. Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti.

Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C, …. dall’asse a sia uguale alla rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.
Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.

Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure corrispondenti in una simmetria assiale:
·     l’asse di simmetria è esterno alla figura, come abbiamo visto nell’esempio sopra.
·     L’asse di simmetria è interno alla figura 
Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni poligoni

Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä

Vediamo il caso A
Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse f.
I due assi a e f sono tra loro paralleli.
Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’ ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore  
Vediamo il caso B

Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse b.
I due assi a e b sono tra loro incidenti e si intersecano nel punto O.
Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’ ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una traslazione, bensì di una rotazione che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due assi.

Vediamo il caso C

Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse c.
I due assi a e c sono tra loro incidenti e perpendicolari e si intersecano nel punto O.
Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta simmetria centrale.
Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento HH’’.
E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.

Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S1 ed S2, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.
I casi possono essere questi:
·    Se i due assi di simmetria sono paralleli, il loro prodotto è una traslazione. Indichiamo così: S1 Ä S2 = T (caso A)
·    Se i due assi di simmetria sono incidenti, il loro prodotto è una rotazione. Indichiamo così: S1 Ä S2 = R (caso B)
·    Se i due assi di simmetria sono incidenti e perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S1 Ä S2 = Sc (caso C)

ESERCIZI

·     Che cos’è una simmetria assiale?
·     Come sono due figure ottenute per simmetria assiale?
·     Indica se VERO o FALSO
­       Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai una simmetria assiale
­       Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria assiale
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una traslazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è una rotazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti è una rotazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una simmetria centrale


·     Disegna le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali? 



Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

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Sonia

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Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca