Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

L’insieme dei numeri razionali


Sappiamo già che possiamo considerare la frazione come operatore, in quanto ci permette di operare su di una grandezza.
Ora consideriamo invece la frazione come quoziente tra due numeri, il numeratore ed il denominatore.
2/5 = 2 : 5

Consideriamo per un momento i numeri naturali e scopriremo che qualunque numero naturale si può scrivere sotto forma di frazione.
Cominciamo dallo “0”: si può scrivere come una frazione avente “0” al numeratore. Infatti:
0/4 = 0 : 4 = 0
0/6 = 0 : 6 = 0
Passiamo al numero 1: si può indicare con una frazione apparente con numeratore uguale al denominatore
3/3 = 3 : 3 = 1
5/5 = 5 : 5 = 1
Tutti gli altri numeri naturali si possono scrivere con una frazione con denominatore 1
10/1 = 10 : 1 = 10
7/1 = 7 : 1 = 7
oppure
con una frazione avente al numeratore un multiplo del denominatore. Ad esempio se io volessi scrivere il numero 15 sotto forma di frazione potrei scrivere così: 15/1, 30/2, 45/3, ecc

Considerando la frazione come quoziente tra due numeri, possiamo quindi stabilire un nuovo insieme che includerà tutte le frazioni. Chiameremo questo insieme come insieme Q+.
Da quanto detto sopra possiamo facilmente capire come l’insieme dei numeri naturali N sia un sottoinsieme dell’insieme Q+ ed indicheremo questa relazione così: N Ì Q+.
Sappiamo già che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

Consideriamo la classe di equivalenza sopra descritta: se calcoliamo il valore numerico di frazioni che appartengono ad una stessa classe di equivalenza ci accorgiamo che il risultato è sempre uguale.
3/5 = 3 : 5 = 0,6
6/10 = 6 : 10 = 0,6
9/15 = 9 : 15 = 0,6
12/20 = 12 : 20 = 0,6
Possiamo allora rappresentare tutta la classe con una sola frazione della classe, quella irriducibile.
L’insieme di tutte le classi di equivalenza è l’insieme Q+ che viene chiamato insieme dei numeri razionali, che, come abbiamo visto include anche l’insieme N dei numeri naturali. Possiamo sintetizzare con il diagramma di Eulero Venn


Proviamo ora a rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata
Immaginiamo di voler rappresentare il numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..}
Consideriamo la frazione che rappresenta la classe di equivalenza 1/3 ed operiamo dividendo l’unità di misura in 3 parti e considerandone 1. Il punto T è l’immagine del numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..} mentre il punto T’ è l’immagine del numero razionale {8/3; 16/6; 24/9; 32/12; …..}
Vediamo un altro esempio


ESERCIZI

·    L’insieme dei numeri razionali forma un nuovo insieme numerico, detto ……………………………
·    L’insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme di questo nuovo insieme?
·    In quale modo la frazione 4/5 può essere considerata come il quoziente tra due numeri?
·    Prova a scrivere sotto forma di frazioni i numeri:
­     2, 7, 15, 19
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 2/5. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 5/4. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 3/1. Il numero che hai scritto è uguale a quale numero naturale?
·    Scrivi alcuni numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni
5/8 = {……………………..………}
7/5 = {……………………..………}
2/3 = {……………………..………}
7/1 = {……………………..………}


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca