Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

giovedì 31 ottobre 2013

I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.
Vediamo un esempio:
(-6x3y + 9x2y2 – 3xy2) : (-3xy)
Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x3y : (-3xy) + 9x2y2 : (-3xy) - 3xy2 : (-3xy) =

= + 2x2 – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.
Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così
(-2xy + 3x – 2y)2 =
= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =
= + 4x2y2 – 6x2y + 4xy2 – 6x2y + 9x2 - 6xy + 4xy2 – 6xy +4y2 =
= + 4x2y2 - 12 x2y + 8xy2 + 9x2 – 12xy +4y2

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)
Eseguiamo
(x + y) (x – y) = x2 – xy + xy - y2 = x2 - y2

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)
Eseguiamo
(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a2 – 6ab + 6ab – 4b2 = 9a2  – 4b2
In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.
(ab + 2a)2
Eseguiamo
(ab + 2a) (ab + 2a) = a2b2 + 2a2b + 2a2b + 4a2 = a2b2 + 4a2b + 4a2


Vediamo un altro esempio











In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso
(a + 2b)3
Eseguiamo
(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)
Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:
(a2 + 4ab + 4b2) (a + 2b) =
= a3 + 2a2b + 4a2b + 8ab2 + 4ab2 + 8b3 =
= a3 + 6a2b + 12ab2 +8b3
Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a3) più il cubo del secondo monomio (b3) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 . a2 . 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 . a . 4b2)
Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.
Vediamo un esempio con la differenza
(a – b)3 = a3 + 3 . a2 . (- b) + 3 . a . (-b)2 + (-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


















Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca