Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Dai numeri razionali ai numeri irrazionali



Consideriamo gli insiemi numerici che conosciamo finora.
Abbiamo esaminato l’insieme N o insieme dei numeri naturali
{0, 1, 2, 3, 4,......}
 Abbiamo visto come l’addizione e la moltiplicazione siano operazioni interne all’insieme N mentre la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali perché non è sempre possibile restando nell’ambito dei numeri naturali.
Per dare una risposta a qualsiasi sottrazione, i matematici hanno inventato i numeri relativi (con il segno), e cioè l’insieme Z.
{...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme Z perché il risultato è sempre un numero intero relativo. La divisione, invece, non è un’operazione interna all’insieme Z perché in alcuni casi non è possibile: ad esempio (+3) : (+5) = ?
Per poter eseguire qualsiasi divisione, i matematici hanno inventato le frazioni: l’insieme Q+ o insieme dei numeri razionali.
-3/4                  +6/5              +5/2
L’insieme Q+ include sia l’insieme N che l’insieme Z.
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione sono operazioni interne all’insieme Q+ perché il risultato è sempre un numero razionale relativo.
L’estrazione di radice non è sempre un’operazione interna all’insieme Q+: se il numero di cui dobbiamo estrarre la radice quadrato è un quadrato perfetto allora l’estrazione di radice è interna a Q+.
Se invece il numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata non è un quadrato perfetto, sappiamo che otterremo una radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 – 0,01 – 0,001, ecc. Ad esempio la radice quadrata di 10 approssimata per difetto a meno di 0,00001 è 3,16227….. ma potremmo proseguire all’infinito ottenendo un numero decimale illimitato con cifre decimali che non si ripeteranno mai: si tratta quindi di un numero decimale illimitato non periodico. I numeri di questo tipo sono chiamati numeri irrazionali.
Per dare quindi una risposta a qualsiasi radice con radicando positivo, i matematici hanno inventato i numeri irrazionali: l’insieme I+ o insieme dei numeri irrazionali.
L’unione dell’insieme Q+ dei numeri razionali e dell’insieme I+ dei numeri irrazionali forma l’insieme R+ o insieme dei numeri reali assoluti.
L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme R+.
Possiamo rappresentare graficamente in questo modo



oppure anche così



ESERCIZI

·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z?
·      Quali sono le operazioni interne all’insieme Z?
·      L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme Q+?
·      In quale insieme l’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna?
·      Qual è l’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dall’insieme dei numeri irrazionali?
·      Inserisci i seguenti numeri al posto corretto nel diagramma di Eulero-Venn
·      Quali tra i seguenti numeri reali assoluti sono razionali e quali irrazionali? Cerchia di blu i razionali e di rosso gli irrazionali.
 


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca