martedì 21 gennaio 2014

Dai numeri razionali ai numeri irrazionali



Consideriamo gli insiemi numerici che conosciamo finora.
Abbiamo esaminato l’insieme N o insieme dei numeri naturali
{0, 1, 2, 3, 4,......}
 Abbiamo visto come l’addizione e la moltiplicazione siano operazioni interne all’insieme N mentre la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali perché non è sempre possibile restando nell’ambito dei numeri naturali.
Per dare una risposta a qualsiasi sottrazione, i matematici hanno inventato i numeri relativi (con il segno), e cioè l’insieme Z.
{...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme Z perché il risultato è sempre un numero intero relativo. La divisione, invece, non è un’operazione interna all’insieme Z perché in alcuni casi non è possibile: ad esempio (+3) : (+5) = ?
Per poter eseguire qualsiasi divisione, i matematici hanno inventato le frazioni: l’insieme Q+ o insieme dei numeri razionali.
-3/4                  +6/5              +5/2
L’insieme Q+ include sia l’insieme N che l’insieme Z.
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione sono operazioni interne all’insieme Q+ perché il risultato è sempre un numero razionale relativo.
L’estrazione di radice non è sempre un’operazione interna all’insieme Q+: se il numero di cui dobbiamo estrarre la radice quadrato è un quadrato perfetto allora l’estrazione di radice è interna a Q+.
Se invece il numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata non è un quadrato perfetto, sappiamo che otterremo una radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 – 0,01 – 0,001, ecc. Ad esempio la radice quadrata di 10 approssimata per difetto a meno di 0,00001 è 3,16227….. ma potremmo proseguire all’infinito ottenendo un numero decimale illimitato con cifre decimali che non si ripeteranno mai: si tratta quindi di un numero decimale illimitato non periodico. I numeri di questo tipo sono chiamati numeri irrazionali.
Per dare quindi una risposta a qualsiasi radice con radicando positivo, i matematici hanno inventato i numeri irrazionali: l’insieme I+ o insieme dei numeri irrazionali.
L’unione dell’insieme Q+ dei numeri razionali e dell’insieme I+ dei numeri irrazionali forma l’insieme R+ o insieme dei numeri reali assoluti.
L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme R+.
Possiamo rappresentare graficamente in questo modo



oppure anche così



ESERCIZI

·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z?
·      Quali sono le operazioni interne all’insieme Z?
·      L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme Q+?
·      In quale insieme l’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna?
·      Qual è l’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dall’insieme dei numeri irrazionali?
·      Inserisci i seguenti numeri al posto corretto nel diagramma di Eulero-Venn
·      Quali tra i seguenti numeri reali assoluti sono razionali e quali irrazionali? Cerchia di blu i razionali e di rosso gli irrazionali.
 


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca