Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

mercoledì 8 ottobre 2014

Lunghezza della circonferenza e di un arco



Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla lunghezza della circonferenza.
Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento che potremo misurare senza difficoltà.


Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza diversa.


Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.
Il problema è la determinazione esatta del valore che segue la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore approssimato.
Le prime 100 cifre decimali di questo numero sono:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067…
e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14

Abbiamo visto che il rapporto quindi fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è sempre costante: 




per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro
 C = d  . 3,14 e conseguentemente













Vediamo una situazione problematica.
La lunghezza di una circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m







Esaminiamo queste altre due situazioni.
·      Una circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la formula C = π . 2r quindi
 C = (3,14 . 2 . 30) cm = 188,4 cm
Possiamo usare la soluzione con la costante π:


C = 2 . 30 . π = 60 π  cm


·      Calcola la misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.
             

 






Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:
L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60° l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.
Ricordando i problemi del tre semplice e chiamando l la lunghezza dell’arco possiamo dire che:












Vediamo un esempio.

Calcola la lunghezza di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm. (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.
Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 . 3,14 . 32) cm = 200,96 cm
Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco
360° : 45° = 200,96 : x




 Soluzione esatta

(2 . π. 32) cm = 64π cm circonferenza
360° : 45° = 64π : x


 




Un altro esempio
Un arco è lungo 12,88 m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 40° e che l = 12,88 m mentre ignoriamo C.
Riscriviamo la proporzione per trovare C.
360° : 40° = x : 12,88















ESERCIZI


  • La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.
  • La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)
  • Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di  30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14) 
  •  Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 

  • Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π). 
  •  Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).  
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca