martedì 21 gennaio 2014

Dai numeri razionali ai numeri irrazionali



Consideriamo gli insiemi numerici che conosciamo finora.
Abbiamo esaminato l’insieme N o insieme dei numeri naturali
{0, 1, 2, 3, 4,......}
 Abbiamo visto come l’addizione e la moltiplicazione siano operazioni interne all’insieme N mentre la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali perché non è sempre possibile restando nell’ambito dei numeri naturali.
Per dare una risposta a qualsiasi sottrazione, i matematici hanno inventato i numeri relativi (con il segno), e cioè l’insieme Z.
{...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme Z perché il risultato è sempre un numero intero relativo. La divisione, invece, non è un’operazione interna all’insieme Z perché in alcuni casi non è possibile: ad esempio (+3) : (+5) = ?
Per poter eseguire qualsiasi divisione, i matematici hanno inventato le frazioni: l’insieme Q+ o insieme dei numeri razionali.
-3/4                  +6/5              +5/2
L’insieme Q+ include sia l’insieme N che l’insieme Z.
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione sono operazioni interne all’insieme Q+ perché il risultato è sempre un numero razionale relativo.
L’estrazione di radice non è sempre un’operazione interna all’insieme Q+: se il numero di cui dobbiamo estrarre la radice quadrato è un quadrato perfetto allora l’estrazione di radice è interna a Q+.
Se invece il numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata non è un quadrato perfetto, sappiamo che otterremo una radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 – 0,01 – 0,001, ecc. Ad esempio la radice quadrata di 10 approssimata per difetto a meno di 0,00001 è 3,16227….. ma potremmo proseguire all’infinito ottenendo un numero decimale illimitato con cifre decimali che non si ripeteranno mai: si tratta quindi di un numero decimale illimitato non periodico. I numeri di questo tipo sono chiamati numeri irrazionali.
Per dare quindi una risposta a qualsiasi radice con radicando positivo, i matematici hanno inventato i numeri irrazionali: l’insieme I+ o insieme dei numeri irrazionali.
L’unione dell’insieme Q+ dei numeri razionali e dell’insieme I+ dei numeri irrazionali forma l’insieme R+ o insieme dei numeri reali assoluti.
L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme R+.
Possiamo rappresentare graficamente in questo modo



oppure anche così



ESERCIZI

·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z?
·      Quali sono le operazioni interne all’insieme Z?
·      L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme Q+?
·      In quale insieme l’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna?
·      Qual è l’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dall’insieme dei numeri irrazionali?
·      Inserisci i seguenti numeri al posto corretto nel diagramma di Eulero-Venn
·      Quali tra i seguenti numeri reali assoluti sono razionali e quali irrazionali? Cerchia di blu i razionali e di rosso gli irrazionali.
 


giovedì 9 gennaio 2014

Identità ed equazioni



Iniziamo prendendo in esame alcuni enunciati veri ed esprimendoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:
a)      La differenza tra un numero e zero è uguale al numero stesso
x – 0 = x
b)      Il prodotto di un numero per zero è uguale a zero
x . 0 = 0
c)      Un numero moltiplicato per se stesso tre volte è uguale al suo cubo
x . x . x = x3

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, sempre vere, qualunque sia il valore assegnato. Infatti:
a)      per x = 5 abbiamo 5 – 0 = 5
per x = - 3 abbiamo -3 - 0 = - 3
per x = 3/5 abbiamo 3/5 – 0 = 3/5

b)      per x = 6 abbiamo 6 x 0 = 0
per x = - 5 abbiamo - 5 . 0 = - 3
per x = 1/4 abbiamo 1/4 . 0 = 0

c)      per x = 4 abbiamo 4 x 4 x 4 = 43
per x = - 2 abbiamo (- 2) (- 2) (-2) = - 23
per x = 1/3 abbiamo (1/3) (1/3) (1/3) = (1/3)3

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati veri si dicono identità. Quindi l’identità è un’uguaglianza fra due espressioni verificata per qualunque valore delle lettere presenti.

Prendiamo ora in esame alcuni enunciati aperti ed esprimiamoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:
a)      La differenza tra un numero e tre è uguale a quattro
x – 3 = 4
b)      Il prodotto di un numero per due è uguale a dieci
x . 2 = 10
c)      Il quadrato di un numero è uguale a 36
x2 = 36
Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, vere solo per alcuni valori di x. Infatti:
a)      se x = 7 abbiamo 7 – 3 = 4 l’uguaglianza è vera
per x = 5 abbiamo 5 - 3 = 4 l’uguaglianza è falsa

b)      per x = 5 abbiamo 5 x 2 = 10 l’uguaglianza è vera
per x = - 5 abbiamo - 5 . 2 = 10 l’uguaglianza è falsa

c)      per x = 6 abbiamo 62 = 36 l’uguaglianza è vera
per x = 7 abbiamo 72 = 36 l’uguaglianza è falsa

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati aperti e che sono soddisfatte solo per determinati valori, si dicono equazioni. Quindi l’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni verificata solo per determinati valori delle lettere presenti.

Vediamo ora la corretta terminologia, considerando ad esempio la seguente equazione
xy – 3x = 6 – 3x

Vediamo che l’equazione è composta da due espressioni letterali, dette rispettivamente 1° e 2° membro dell’equazione.
Le lettere presenti nell’equazione sono dette incognite, mentre i termini che non contengono le incognite sono detti termini noti.
A seconda del numero di lettere diverse presenti in una equazione si parla di equazione a una, a due, a tre, a …. incognite. Nell’esempio sopra abbiamo un’equazione a due incognite.
15 x + 13 = x – 1 è un’equazione ad una incognita.
Il grado di un’equazione si determina individuando il grado più elevato dei monomi che formano l’equazione: 4x2 – x = 0 è un’equazione di 2° grado; x2y + y4 = 10 è un’equazione di 4° grado.
La soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione.

Dobbiamo ora considerare i principi di equivalenza delle equazioni.
Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di un’equazione lo stesso numero o una espressione algebrica contenente l’incognita, ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Consideriamo l’equazione 5x + 2 = 17. La soluzione dell’equazione è x = 3. Infatti:
5. 3 + 2 = 17
Applichiamo ora il 1° principio di equivalenza aggiungendo ad entrambi i membri un numero, ad esempio il numero 4. Otteniamo:
5x + 2 + 4 = 17 + 4 e vediamo che la soluzione è ancora x = 3. Infatti
5. 3 + 2  + 4 = 17 + 4

Proviamo ora a togliere uno stesso numero, ad esempio 2. Otteniamo:
5x + 2 – 2 = 17 – 2 e notiamo che la soluzione è ancora x = 3. Consideriamo meglio questo esempio:

Confrontiamo questa equazione con quella di partenza, sapendo che sono equivalenti:
5x + 2 = 17
5x = 17 – 2
Notiamo che abbiamo spostato il termine noto dal 1° al 2° membro, cambiandolo di segno.
Possiamo dunque affermare che, in ogni equazione, un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.
Vediamo un esempio
3x – 4 – 2x = 26 – 5x                        è equivalente a 3x – 2x  + 5x = 4 + 26 e cioè 6x = 30
Consideriamo un altro esempio
4x - 6 + 2x = 2x + 6              è equivalente a 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e cioè 4x = 12
Se confrontiamo 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e  4x = 12 vediamo che in pratica abbiamo eliminato + 2x che era presente in entrambi i membri dell’equazione.  Possiamo dunque affermare che in un’equazione possiamo eliminare eventuali termini uguali presenti sia nel 1° che nel 2° membro.

Ora consideriamo il 2° principio di equivalenza delle equazioni.
Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero), ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Consideriamo l’equazione x – 2 = 14
Moltiplichiamo entrambi i membri per -1. Otteniamo
-1 . (x – 2) = -1. 14     cioè –x + 2 = -14
Questa equazione è equivalente a quella di partenza: possiamo notare come siano cambiati i segni di tutti i termini dell’equazione.
Affermiamo dunque che possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data cambiando il segno di tutti i suoi termini.
Consideriamo ora un’equazione a termini frazionari. Ad esempio:
Notiamo che otteniamo un’equazione equivalente a quella di origine ma ridotta a forma intera.
Possiamo dunque affermare che, data un’equazione a termini frazionari,  possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data e ridotta a forma intera moltiplicando ciascun termine dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori.

Sintetizzando tutto il lungo discorso possiamo dire


ESERCIZI

·      Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità o equazioni
4 (x + y) = 4x + 4y

x + 6 = 2x

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a + 3 = - (- a – 3)

2 x + 3 = x – 4

·      Individua il grado di ciascuna equazione
3x2 – x = 0

xy2 + y4 = 10

a3 – 3a2 + 3a = -1

3a - 7 = - a + 2

·      Indica quali sono le incognite e i termini noti di ciascuna equazione

Termini noti
Incognite
-2x + 4 = x – 6



x + 2y = 8



ab3 – a2b + c = 2a + 1




·      Che cosa afferma il primo principio di equivalenza?
·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 1° principio di equivalenza
16 = 7x + 2

- 9 + 7x = 2x + 1

8x + 7 – x = 3x + 9





·      Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 2° principio di equivalenza
3x – 2x + 1 = 10x










·      Riduci a forma intera le seguenti equazioni
                    










Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca