Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Circonferenza e cerchio



Quella che si vede di seguito è una linea curva chiusa. Possiamo notare come tutti i punti della linea non siano alla stessa distanza dal punto O.
Anche quella che vediamo sotto è una linea curva chiusa ma osserviamo che tutti i punti della linea sono alla stessa distanza dal punto O: in questo caso la linea è chiamata circonferenza.
Possiamo quindi definire la circonferenza come una linea chiusa formata da tutti i punti del piano equidistanti da un punto interno O che si chiama centro della circonferenza, mentre la distanza fra qualunque punto della circonferenza ed il centro viene detta raggio.

Consideriamo ora una circonferenza ed il piano su cui giace. 

Il punto A è esterno alla circonferenza perché la sua distanza dal centro è maggiore del raggio.
Il punto B appartiene alla circonferenza perché la sua distanza dal centro è uguale al raggio.
Il punto C è interno alla circonferenza perché la sua distanza dal centro è minore del raggio.

Ora possiamo affermare che il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza.
Rivediamo un po’ di terminologia.


Se stabiliamo due punti sulla circonferenza come i punti A e B, la circonferenza risulta divisa in due parti, ciascuna delle quali si chiama arco. Il segmento che unisce i due punti A e B prende il nome di corda. Ogni arco sottende la relativa corda.
La corda CD che passa per il centro si chiama diametro ed è il doppio della lunghezza del raggio.
d = 2r
I punti C e D dividono la circonferenza in due archi congruenti, detti semicirconferenze.
Il diametro divide il cerchio in due parti congruenti dette semicerchi.

Consideriamo un cerchio ed una sua qualsiasi corda e conduciamo la perpendicolare OH dal centro alla corda stessa.
La perpendicolare (detta distanza della corda dal centro) divide la corda in due parti congruenti. BH = HA
Questo è vero per qualsiasi corda, per cui possiamo dire che la perpendicolare condotta dal centro ad una qualsiasi corda divide la corda in due parti congruenti.

Vediamo ancora un po’ di terminologia.
La parte di cerchio compresa fra due raggi si chiama settore circolare.
Le due parti del cerchio formate da una corda si chiamano segmento circolare.
Quali possono essere le posizioni reciproche di una circonferenza e di una retta che giacciono sullo stesso piano?
Osserviamo questi casi:

la retta ha due punti (A e B) in comune con la circonferenza e la sua distanza dal centro è minore del raggio (OH < r): la retta a è secante alla circonferenza.

la retta ha un solo punto (H) in comune con la circonferenza e la sua distanza dal centro è uguale al raggio (OH = r), il raggio OH è perpendicolare alla retta: la retta b è tangente alla circonferenza.
la retta non ha punti in comune con la circonferenza e la sua distanza dal centro è maggiore del raggio (OH > r): la retta c è esterna alla circonferenza.


E invece quali potranno essere le posizioni reciproche di due circonferenze che giacciono sullo stesso piano?
Vediamo i casi seguenti:
Le due circonferenze hanno un solo punto in comune, il punto B, e la distanza dei loro centri corrisponde alla somma dei due raggi (OO’ = r + r’): le due circonferenze sono tangenti esternamente.
Le due circonferenze hanno un solo punto in comune, il punto B, e la distanza dei loro centri corrisponde alla differenza dei due raggi (OO’ = r’ – r): le due circonferenze sono tangenti internamente.
Le due circonferenze non hanno punti in comune e la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei raggi (OO’ > r + r’): le due circonferenze sono una esterna all’altra.

Le due circonferenze hanno due punti in comune, i punti A e B e la distanza dei loro centri è minore della somma dei raggi (OO’ < r + r’): le due circonferenze sono secanti.
Le due circonferenze non hanno punti in comune e la distanza dei loro centri è minore della differenza dei raggi (OO’ > r’ - r): le due circonferenze sono una interna all’altra.
Se le due circonferenze sono una interna all’altra e sono concentriche (hanno cioè lo stesso centro) l parte di piano compresa fra le due circonferenze prende il nome di corona circolare.

ESERCIZI

·      Che cos’è una circonferenza?
·      Definisci il raggio di una circonferenza.
·      Disegna una retta ed una circonferenza secanti.
·      Indica quali rette sono tangenti, esterne e secanti alla circonferenza.


·      Disegna due circonferenze tangenti internamente.
·      Una circonferenza di centro O ha il raggio di 4 m. Un punto A tale che OA = 4 m è interno, esterno o appartiene alla circonferenza?
·      Una circonferenza di centro O ha il raggio di 4 m. Un punto B tale che OB = 3 m è interno, esterno o appartiene alla circonferenza?
·      Una circonferenza di centro O ha il raggio di 4 m. Un punto C tale che OC = 4,5 m è interno, esterno o appartiene alla circonferenza?
·      Due circonferenza con i centri O e O’ hanno i rispettivi raggi lunghi 3 dm e 5 dm.
Se la distanza OO’ = 6 dm qual è la posizione reciproca delle due circonferenze?
Se la distanza OO’ = 2 dm qual è la posizione reciproca delle due circonferenze?
Se la distanza OO’ = 1 dm qual è la posizione reciproca delle due circonferenze?
Se la distanza OO’ = 9 dm qual è la posizione reciproca delle due circonferenze?
Se la distanza OO’ = 8 dm qual è la posizione reciproca delle due circonferenze?
·      Individua quali segmenti sono corde


·      Completa con le misure mancanti
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Rapporti e proporzioni



Consideriamo questa situazione in cui ci vengono presentati due dati.
La popolazione della Campania è di 5 790 187 abitanti; la superficie della Campania è di 13 590 km2.
Possiamo mettere in relazione questi due dati, cioè rapportarli tra di loro per calcolare la densità di popolazione della Campania.
5 790 187 ab : 13 590 km2 = 426 abitanti per ogni km2
Vediamo che la ricerca del rapporto tra i due dati di partenza si è concretizzato in una divisione ed il quoziente tra i due dati è il loro rapporto numerico.
Possiamo dunque generalizzare affermando che il rapporto tra due numeri a e b è il quoziente di a : b.
Il rapporto tra due numeri, ad esempio 7 e 8 può essere indicato in modo diverso:
-         con una divisione 7 : 8 (si legge “rapporto 7 a 8”)
-         con una frazione 7/8 (si legge “rapporto sette ottavi”)
-         con un numero decimale 7 : 8 = 0,875 (si legge “rapporto 0,875”)

I due numeri 7 e 8 si chiamano termini del rapporto: il primo termine prende il nome di antecedente, il secondo termine di conseguente.

Consideriamo ora questa situazione.
In una serie di tiri liberi a canestro Giorgio realizza 15 canestri in 20 tiri mentre Paolo realizza 12 canestri su 16 tiri.
Chi è stato il miglior tiratore? Non lasciamoci ingannare dal fatto che Giorgio ha fatto più canestri di Paolo, dobbiamo considerare per ogni giocatore il rapporto canestri fatti/tiri effettuati.
Per Giorgio il rapporto è 15 : 20 = 0,75
Per Paolo il rapporto è 12 : 16 = 0,75
I due rapporti sono uguali, quindi i due giocatori hanno dimostrato uguale bravura.
Possiamo dunque scrivere così
15 : 20 = 12 : 16
Abbiamo scritto un’uguaglianza fra due rapporti. Questa uguaglianza si chiama proporzione, che possiamo dunque definire come l’uguaglianza di due rapporti.
La proporzione sopra indicata si legge: 15 sta a 20 come 12 sta a 16.
Impariamo la nomenclatura corretta delle proporzioni:



-         i quattro numeri sono i termini della proporzione
-         il 1° ed il 3° numero sono gli antecedenti
-         il 2° ed il 4° numero sono i conseguenti
-         il 1° ed il 4° numero sono gli estremi
-         il 2° ed il 3° numero sono i medi

Tutte le proporzioni godono di alcune proprietà. Cominciamo ad esaminare la proprietà fondamentale.
La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. Se la proporzione è a : b = x : y avremo che a . y = b . x.
Nella proporzione 15 : 20 = 12 : 16 avremo che 15 . 16 = 20 . 12
Questa proprietà è utile per controllare se due rapporti possono formare una proporzione.
Esempio:
I rapporti 1,5 : 0,3 e 2,5 : 0,5 possono formare una proporzione?
Moltiplichiamo gli estremi: 1,5 . 0,5 = 0,75
Moltiplichiamo i medi: 0,3 . 2,5 = 0,75
Sì, i due rapporti possono formare una proporzione.
Vediamo un altro esempio:

No, i due rapporti non formano una proporzione.

Passiamo ad esaminare un’altra proprietà, la cosiddetta proprietà dell’invertire.
La proprietà dell’invertire afferma che, in ogni proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.
Se la proporzione è a : b = c : d sarà una proporzione anche b : a = d : c.
Vediamo un esempio:
se è vero che 50 : 5 = 20 : 2 sarà anche vero che 5 : 50 = 2 : 20


Vediamo ora la proprietà del permutare.
La proprietà del permutare afferma che, in ogni proporzione, scambiando tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono altre proporzioni.
Se la proporzione è a : b = c : d saranno proporzioni anche 

Un’altra proprietà delle proporzioni è la proprietà del comporre.
La proprietà del comporre afferma che, in ogni proporzione, la somma del 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a + b) : a = (c + d) : c
(a + b) : b = (c + d) : d
Vediamo un esempio numerico. Se


Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà del comporre nel secondo modo.

Vediamo infine la proprietà dello scomporre.
La proprietà dello scomporre afferma che, in ogni proporzione che abbia gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti, la differenza tra il 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la differenza tra il 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a - b) : a = (c - d) : c
(a - b) : b = (c - d) : d

Vediamo un esempio numerico. Se


Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà dello scomporre nel secondo modo.


ESERCIZI
·      Quali, tra questi rapporti, possono costituire una proporzione?
12 : 3 e 14 : 2
36 : 6 e 30 : 5
200 : 20 e 30 : 3
100 : 2 e 200 : 20
·      Data la proporzione 25 : 20 = 30 : 24 rispondi alle domande:
-       Quali sono gli antecedenti?
-       Quali sono i conseguenti?
-       Quali sono gli estremi?
-       Quali sono i medi?
-       Qual è il valore del rapporto?




·      Ad ogni proporzione applica le proprietà dell’invertire, del permutare, del comporre e dello scomporre (quando possibile)


Proprietà dell’invertire
Proprietà del permutare
Proprietà del comporre
Proprietà dello scomporre
5 : 7 = 15 : 21




54 : 6 = 18 : 2




72 : 12 = 36 : 6




3 : 4 = 9 : 12






Commenti (da Net Parade e da Facebook)

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Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
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Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca