Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Le disequazioni



Abbiamo visto come le equazioni siano la traduzione matematica di frasi aperte, come ad esempio:
“il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale a 3” che diventa 2x – 5 = 3.

Se abbiamo invece una frase aperta del tipo “il doppio di un numero diminuito di 5 è maggiore di 12”, la traduzione matematica diventa 2x – 5 > 12.
In questo caso non siamo di fronte ad una uguaglianza, ma ad una disuguaglianza che prende il nome di disequazione.
La soluzione della disequazione è data dall’insieme di valori che rendono vera la frase aperta: questo insieme di valori può essere chiamato insieme verità e può essere finito, infinito o vuoto.

Consideriamo le seguenti disequazioni:
x < 6
le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità finito: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

x > 5
le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità infinito: {6; 7; 8; 9; 10; ……}

x < 0
nell’insieme N non ci sono soluzioni quindi l’insieme verità è vuoto: {Ø}

Anche per le disequazioni valgono le proprietà viste per le equazioni.
Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di una disequazione lo stesso numero ottenendo una disequazione equivalente a quella data.
La conseguenza di ciò è che anche per le disequazioni vale la legge del trasporto: in ogni disequazione un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.
Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo ottenendo una disequazione equivalente a quella data.
Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo ottenendo una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto ( il < diventa > e viceversa).
La conseguenza è che possiamo ottenere una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Vediamo alcuni esempio su come risolvere una disequazione. Il segno ≤ si legge minore o uguale mentre il segno ≥ si legge maggiore o uguale.
·      3(2x-3) ≤ 4x - 7
Dobbiamo prima di tutto eliminare le parentesi
6x-9 ≤ 4x – 7
Ora trasportiamo al primo membro tutti i termini in x
6x – 4x ≤ 9 – 7
Eseguiamo le addizioni algebriche
2x ≤ 2
Dividiamo entrambi i membri per 2
x ≤ 1








Troviamo il mcm dei denominatori, in questo caso 2. Eliminiamo i denominatori moltiplicando tutti i termini per il mcm 2.








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Angoli al centro e angoli alla circonferenza



ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Premetto che gli archi e gli angoli dovrebbero essere indicati così:

Per comodità non userò questa notazione, incompatibile con la piattaforma di Blogger.
Consideriamo una circonferenza  di raggio r e di centro O. Su di essa stabiliamo un punto P e da esso facciamo partire due semirette qualsiasi che incontrino la circonferenza nei due punti A e B. Si determina così un arco AB ed un angolo convesso α.
L’ angolo convesso α si chiama angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB.
Consideriamo ora un cerchio  di raggio r e di centro O. Facciamo partire dal centro O due semirette qualsiasi che incontrano la circonferenza nei due punti A e B. Si determinano così due archi e due angoli, convesso α e concavo α’.
I due angoli α e α’ sono esplementari perché la loro somma è 360°.

Esaminiamo ora due casi particolari di angoli al centro:

Se l’angolo al centro è originato da due semirette perpendicolari, l’angolo al centro α sarà retto e insisterà sull’arco AB che è la quarta parte della circonferenza.
Se l’angolo al centro è determinato da due semirette adiacenti, quindi dal diametro, gli angoli al centro α e α’ saranno piatti ed insisteranno su archi corrispondenti alla semicirconferenza.

Vediamo ora alcune proprietà legate agli angoli al centro o alla circonferenza.
I due angoli al centro α e α’ insistono rispettivamente sui due archi AB e CD non coincidenti e congruenti tra loro (AB@CD): gli angoli al centro α e α’ sono anch’essi congruenti. Possiamo quindi dire che due angoli al centro sono congruenti se insistono su archi congruenti.
Dato un arco AB, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul suddetto arco sono tra loro congruenti (α@β@γ). Possiamo quindi affermare  che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.
Dato l’angolo alla circonferenza α  che insiste sull’arco AB e l’angolo alla circonferenza β che insiste sull’arco CD, se gli archi AB e CD sono congruenti e non coincidenti gli angoli α e β sono congruenti (α@β). Possiamo dunque affermare che due angoli alla circonferenza che insistono su due archi congruenti sono anch’essi congruenti.
Consideriamo un arco AB, l’angolo al centro α che insiste sull’arco AB e l’angolo β, uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza corrispondenti all’arco AB. L’angolo α è il doppio dell’angolo β (α=2 β). Possiamo dunque dire che in una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un arco è sempre il doppio di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

ESERCIZI

·      Completa la tabella, sapendo che α è l’angolo al centro e β il corrispondente angolo alla circonferenza.
α
β
47°32’


65°
51°26’


27°18’
·      Un angolo al centro insiste su una semicirconferenza. Quanto è ampio? Quanto è ampio il corrispondente angolo alla circonferenza?
·      Un angolo alla circonferenza misura 20°; quanto misura il corrispondente angolo al centro? Su quale parte di circonferenza insiste?
·      Un angolo alla circonferenza insiste su un arco uguale a 1/3 della circonferenza. Quanto è ampio?
·      Osserva la seguente figura: sapendo che l’arco CD è pari ai 2/5 della circonferenza, calcola l’ampiezza degli angoli del quadrilatero ACBD.
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca