Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Problemi di ripartizione



Esaminiamo questa situazione.
Un segmento lungo 240 cm viene diviso in tre parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 5 e 6. Qual è la lunghezza delle tre parti?
Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti direttamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice diretta.
Chiamiamo x, y, z le lunghezze delle tre parti in cui deve essere diviso il segmento; sappiamo poi che queste lunghezze devono essere direttamente proporzionali rispettivamente ai numeri 4, 5 e 6.
Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti:
x : 4 = y : 5 = z : 6
A questa catena si può applicare la proprietà del comporre: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti  come ogni antecedente sta al proprio conseguente. Quindi:
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = x : 4
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = y : 5
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = z : 6
da cui otteniamo
240 : 15 = x : 4
240 : 15 = y : 5
240 : 15 = z : 6
Risolviamo le tre proporzioni e scopriremo la lunghezza delle tre parti.











La lunghezza delle tre parti è di 64 cm, 80 cm, 96 cm.

Vediamo ora quest’altra situazione.
In una gara podistica in montagna vengono premiati i primi tre arrivati. L’ammontare totale del premio è di € 1 500 che sarà assegnato in modo inversamente proporzionale al tempo impiegato, che è stato rispettivamente di 55, 50 e 45 minuti. Quale sarà il premio spettante a ciascun podista?
Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice inversa.
Chiamiamo x, y, z l’ammontare dei tre premi; sappiamo poi che questo ammontare deve essere inversamente proporzionale ai tempi 45m, 50m, 55 m.
Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti: 


 




























L’ammontare dei tre premi sarà di € 451,50, € 496,66 ed € 551,84

ESERCIZI

·      Un angolo giro deve essere diviso in tre angoli con le ampiezze direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5. Qual è l’ampiezza di ciascun angolo?

·      Un angolo piatto viene diviso in 4 parti inversamente proporzionali a 3/5, 5/4, 3/2 e 5. Calcola l’ampiezza di ciascuna parte.

·      In un piccolo condominio di quattro appartamenti occorre affrontare una spesa straordinaria di 24 000 euro che sarà ripartita in ragione diretta alla superficie di ogni appartamento. Se la superficie degli appartamenti è di 100 m2, 70 m2, 120 m2 e 110 m2 quanto dovrà pagare ogni proprietario?

·      Tre Comuni devono effettuare un lavoro di manutenzione straordinaria su una galleria che si trova nella strada che collega i suddetti comuni. La somma preventivata è di 196000 euro. Si decide di suddividere la somma dovuta dai Comuni in parti inversamente proporzionali alle distanze dei Comuni dalla galleria. Conoscendo che le distanze sono rispettivamente 5 km, 8 km, 12 km, quale sarà la spesa di ciascun Comune?

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Problemi del tre composto



Consideriamo una situazione problematica di questo tipo.
Per riscaldare 30 camere di un ospedale per 10 giorni sono stati consumati 90 quintali di gasolio. Quanti quintali di gasolio si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?
Vediamo come in questo caso la grandezza incognita non dipende solo da un’altra grandezza, dipende da più grandezze. I problemi di questo tipo si chiamano problemi del tre composto perché possiamo considerarli composti da due o più problemi del tre semplice.
Mettiamo i dati in una tabella:
n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
30
10
90
25
18
x

Suddividiamo il problema in due problemi del tre semplice, considerando solo due grandezze variabili e mantenendo costante la terza.
Se manteniamo costanti i giorni, avremo
n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
30
10
90
25
10
x

Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.












75 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 10 giorni.
Manteniamo ora costante il numero delle camere. E’ come se il nostro problema fosse diventato: “Per riscaldare 25 camere per 10 giorni si consumano 75 quintali di gasolio. Quanti quintali si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?”. Avremo dunque:



n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
25
10
75
25
18
x
Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

 












135 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 18 giorni.

C’è però la possibilità di usare un procedimento più veloce.

Ripartiamo dalla tabella iniziale e disegniamo una freccia che va dalla x verso il valore conosciuto.










Stabiliamo poi se ogni grandezza è direttamente o inversamente proporzionale rispetto alla grandezza con l’incognita (nel nostro esempio sia la grandezza “n° camere” sia “n° giorni” sono direttamente proporzionali alla grandezza “quintali di gasolio”). Se le grandezze sono direttamente proporzionali disegniamo per ogni grandezza una freccia con lo stesso verso di quella già tracciata, se sono inversamente proporzionali disegniamo una freccia di verso opposto.
Potremo ora calcolare il valore di x moltiplicando il valore noto 90 per le altre grandezze seguendo il verso delle frecce.








Consideriamo questa situazione problematica
Un lingotto d’oro lungo 39 mm, largo 22 mm e spesso 1,3 mm pesa 21 grammi.
Un altro lingotto d’oro è lungo 45 mm, largo 25 mm e pesa 50 grammi. Qual è il suo spessore?

Mettiamo i dati in tabella e tracciamo una freccia dalla x al valore noto.


 

 











ESERCIZI

·      Un automobilista che viaggia 6 ore al giorno alla velocità media di 110 km/h impiega 4 giorni a compiere un certo percorso. Quanto tempo impiegherebbe a fare lo stesso percorso viaggiando 4 ore al giorno alla velocità di 120 km/h?

·      Una lastra di rame lunga 1,5 m , larga 1,2 m e spessa 2,5 mm pesa 40 kg. Quanto peserà un’altra lastra di rame lunga 2 m, larga 0,6 m e spessa 3 mm?

·      In un’azienda 40 operai lavorano 8 ore al giorno producendo 2500 kg di merce in 25 giorni. Quanti giorni impiegheranno 50 operai che lavorano 6 ore al giorno per produrre 3000 kg di merce?

·      Per riempire un piccolo bacino del volume di 180 m3 5 pompe di sollevamento impiegano 15 ore. Quante ore impiegheranno 8 pompe della stessa portata per riempire un bacino di 240 m3?

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca