venerdì 22 maggio 2015

Corpi solidi: i poliedri



I corpi solidi la cui superficie è formata solo da poligoni situati in piani diversi si dicono poliedri (insieme A della figura).
I corpi solidi la cui superficie è curva invece si dicono solidi rotondi o a superficie curva (insieme B della figura).
Cominciamo ad esaminare i poliedri.
I poligoni che delimitano il poliedro si dicono facce del poliedro, i lati dei poligoni si dicono spigoli del poliedro, i vertici dei poligoni sono i vertici del poliedro.
Si dice invece diagonale del poliedro ogni segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Da questa immagine tratta dal sito http://freeforumzone.leonardo.it possiamo vedere come, in ogni poliedro, il numero delle facce più il numero dei vertici sia sempre uguale al numero degli spigoli più 2. Chiamiamo f il numero di facce, v il numero di vertici, s il numero di spigoli.

f + v
s + 2
Tetraedro
4 + 4 = 8
6 + 2 = 8
Cubo
6 + 8 = 14
12 + 2 = 14
Ottaedro
8 + 6 = 14
12 + 2 = 14
Questa relazione è detta relazione di Eulero e possiamo sintetizzarla così: in qualsiasi poliedro è sempre vero che f + v = s + 2

Noi considereremo ora solo i poliedri convessi, cioè i poligoni le cui facce appartengono  a piani che non intersecano il poliedro.
I poliedri convessi possono essere regolari o non regolari.

POLIEDRI REGOLARI

Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro.
Ci sono solo 5 tipi di poliedro regolare, detti anche poliedri platonici.
In questa immagine vediamo quali sono: 


f
Tetraedro
4 triangoli equilateri
Cubo (o esaedro regolare)
6 quadrati
Ottaedro
8 triangoli equilateri
Dodecaedro
12 pentagoni regolari
Icosaedro
20 triangoli equilateri

Lo sviluppo di un poliedro è la rappresentazione su un piano della superficie totale del poliedro stesso: in pratica si tratta della rappresentazione in piano di tutte le facce del poliedro. Nell’immagine sopra vediamo lo sviluppo in piano dei poliedri regolari (ultima colonna della tabella).

POLIEDRI NON REGOLARI
Nell’insieme dei poliedri non regolari troviamo il sottoinsieme dei prismi ed il sottoinsieme delle piramidi.
Sottoinsieme dei prismi
Sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.
Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce si dicono facce laterali e la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.

Consideriamo ora questi due prismi. Vediamo come nel prisma a sinistra gli spigoli delle facce laterali siano tutti perpendicolari alla basi mentre nel prisma a destra sono obliqui.

I prismi come quello a sinistra vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali sono rettangoli, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei parallelogrammi.  
Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo
Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari alle basi abbiamo un parallelepipedo retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 
Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo il parallelepipedo rettangolo. Le facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 
Un particolare parallelepipedo rettangolo è il cubo, in cui tutte e sei le facce sono congruenti. 
Rappresentiamo il sottoinsieme dei prismi con il diagramma di Eulero-Venn.
Sottoinsieme delle piramidi
Sono quei poliedri che non hanno facce parallele, una base sola che può essere un qualsiasi poligono e la superficie laterale formata da facce triangolari con un vertice in comune.
Il poligono su cui poggia è la base della piramide, le altre facce si dicono facce laterali, il vertice comune alle facce laterali è il vertice della piramide e la distanza fra il vertice e la base è l’altezza della piramide.
Riassumiamo quindi l’insieme dei poliedri in un diagramma di Eulero-Venn.
ESERCIZI

·      Che cos’è un poliedro?
·      Quando un poliedro è regolare?
·      Quando un poliedro viene chiamato prisma?
·      Che cos’è un parallelepipedo?
·      Per ognuno dei seguenti solidi verifica la relazione di Eulero 
·      Stabilisci quali poliedri sono regolari e quali non regolari 
·      Stabilisci fra i seguenti poliedri quali sono prismi e quali piramidi 
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

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