Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

giovedì 12 febbraio 2015

Stampare la prova Invalsi di matematica a. s. 2013/14

Propongo due documenti in pdf ed in word che ricalcano la prova Invalsi assegnata alle classi terze nell'a.s. 2013/2014. Qual è il vantaggio di scaricarlo e stamparlo?
- Contiene 26 esercizi, uguali alla prova Invalsi dello scorso anno: gli alunni potranno così esercitarsi testando se riescono ad eseguire il lavoro nel tempo assegnato.
- Ho concentrato gli esercizi e curato l'impaginazione per cui occorre solamente stampare 10 pagine per ogni alunno, invece delle 24 contenute nella prova Invalsi.
Non resta allora che stampare, fotocopiare ed analizzare i risultati ottenuti.
Fai clic sul link per stampare la simulazione in pdf (che puoi vedere in anteprima qui sotto) o, per chi preferisce, in word.
 

Criteri di similitudine e teoremi di Euclide



Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

Consideriamo le due figure:
 Notiamo che:




AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.


Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.


Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.
I CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:







e quindi i due triangoli sono simili.

II CRITERIO
   
Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:
BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)
I due triangoli sono simili.

 III CRITERIO


Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:
AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’           
I due triangoli sono simili.

I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.

I teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.
 

Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo A’B’H’ (bianco). 

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’ sono congruenti. A è congruente ad H’.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.
Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo C coincide con l’angolo A’. C è congruente a A'.


I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che   


 

possiamo modificare la proporzione
BC : AB = AB : BH
Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il triangolo ABC.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’ sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.
L'angolo A è congruente all'angolo H'.
L'angolo C è congruente all'angolo C'

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B coincide con l’angolo A’.
L'angolo B è congruente all'angolo A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:
BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 



possiamo modificare la proporzione
BC : AC = AC : HC
Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Il I teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.


II teorema di Euclide




Abbiamo constatato che
A’B’H’ è simile ad ABC
A’H’C’ è simile ad ABC
Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.
B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’







per cui
BH : AH = AH : HC
Il II teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

ESERCIZI
·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7 cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75 cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.


Visualizza, scarica e stampa gli esercizi (in pdf, in word)
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni (in pdf, in word)




Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca