Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.
Vediamola tra insiemi intersecati. Siano
A = {rosso; verde; giallo; rosa}
B = {nero; verde; blu; giallo}
Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:
A – B = D oppure A\B = D oppure ancora
A\B = {rosso; rosa}
Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.
A = {1; 3; 5; 7}
B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}
B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.
A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}
B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.
B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi
A = {
B = {
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti
A = {5; 10; 15; 20; 25}
B = {3; 6; 9}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

3.      Sia
A = {a; b; c; d; e}
B = {a; e}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {


Operazioni sugli insiemi: unione ed intersezione

Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo a vederne due e, precisamente, l’unione e l’intersezione.
Teniamo conto che, se consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni:

CASO 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.



CASO 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B.



CASO 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme proprio.

Per ognuno di questi tre casi vedremo ora le operazioni di unione e di intersezione.

Teniamo conto che l’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo È.

L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo Ç.

1° CASO.
Consideriamo l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}.
Per elencazione:
A = {a; e; i; o ; u}
B = {b; c; d; f }
I due insiemi A e B sono disgiunti, non ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {a; e; i; o ; u; b; c; d; f} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B.
AÇB = Æ - L’intersezione è un insieme vuoto perché non ci sono elementi in comune.


2° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia}
B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto}
I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = { Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia; Spagna; Tunisia; Grecia; Egitto} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B, considerando una volta sola gli elementi comuni ad A e B.
AÇB = { Francia; Italia}  - L’intersezione è l’insieme con gli elementi comuni Francia ed Italia.

3° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi}
B = {Pirlo; Chiellini; Buffon}
L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme proprio.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi} - L’unione è formata dall’insieme A perché tutti gli elementi di B appartengono ad A
AÇB = {Pirlo; Chiellini; Buffon}- L’intersezione è l’insieme B perché sono gli elementi di B in comune con gli elementi di A.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.



ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Qual è il significato di questi simboli?
CÈD
CÇD

2.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m}
B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

3.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una lettera della parola “armadio”}
B = {b/b è una lettera della parola “radio”}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

4.      Dati questi due insiemi:

A = {mela; pera; albicocca}
B = {pesca; prugna
Rappresenta per elencazione e graficamente:
AÈB
AÇB

I sottoinsiemi

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Insiemi e rappresentazione degli insiemi

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Superficie e volume della sfera

La superficie di una sfera non è sviluppabile in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura della superficie sferica.
Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero circoscritto ad essa.
Poiché la superficie laterale del cilindro si calcola con questa formula Sl = C  . h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr . 2r= 4 πr2.
Siccome πr2 è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo per 4.

S = 4 πr2

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la formula del cono V = (Ab . h)/ 3
L’area di base del nostro cono si ottiene quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π
 Ab= 2r . 2r . π = 4r2 π
Poiché l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che 
V = (4r2π . r)/ 3=  

Possiamo dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il cubo del suo raggio per  4/3 π.
Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:


ESERCIZI

  •       Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm2.
  •       Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
  •       Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.

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La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.
Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?
Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.
CA = r


Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.
r < CA


Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.
r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.
Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.


La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI
  •          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
  •          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
  •          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm2. Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.


  •          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.



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Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.
Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.
Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Sl = (C + C’)  . a)/2
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  Sl .2 /a       a = Sl .2 /C + C’  

Superficie totale
L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab + Ab’
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St – (Ab + Ab’)                    (Ab + Ab’ ) = St – Sl

Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.
Siccome Ab= πr21 e Ab’= πr22

ESERCIZI
·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm2, calcola la misura dell’apotema.

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Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.
Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale


La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.
Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Sl = (C  . a)/2 oppure Sl = πra
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = Sl .2 /a       a = Sl .2 /C  oppure a = Sl / πr         r =  Sl / πa

Superficie totale
L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - Ab                    Ab = St – Sl

Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.
Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.
V = (Ab . h)/ 3 oppure V = πr2h/3
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V  . 3 /h                  h = V  . 3 / Ab oppure V  . 3 / πr2



ESERCIZI

  • Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm2. Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

  • In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm2. Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.
  • Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m2. Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca