Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.
Vediamola tra insiemi intersecati. Siano
A = {rosso; verde; giallo; rosa}
B = {nero; verde; blu; giallo}
Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:
A – B = D oppure A\B = D oppure ancora
A\B = {rosso; rosa}
Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.
A = {1; 3; 5; 7}
B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}
B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.
A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}
B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.
B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi
A = {
B = {
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti
A = {5; 10; 15; 20; 25}
B = {3; 6; 9}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

3.      Sia
A = {a; b; c; d; e}
B = {a; e}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {


Operazioni sugli insiemi: unione ed intersezione

Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo a vederne due e, precisamente, l’unione e l’intersezione.
Teniamo conto che, se consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni:

CASO 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.



CASO 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B.



CASO 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme proprio.

Per ognuno di questi tre casi vedremo ora le operazioni di unione e di intersezione.

Teniamo conto che l’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo È.

L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo Ç.

1° CASO.
Consideriamo l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}.
Per elencazione:
A = {a; e; i; o ; u}
B = {b; c; d; f }
I due insiemi A e B sono disgiunti, non ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {a; e; i; o ; u; b; c; d; f} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B.
AÇB = Æ - L’intersezione è un insieme vuoto perché non ci sono elementi in comune.


2° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia}
B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto}
I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = { Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia; Spagna; Tunisia; Grecia; Egitto} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B, considerando una volta sola gli elementi comuni ad A e B.
AÇB = { Francia; Italia}  - L’intersezione è l’insieme con gli elementi comuni Francia ed Italia.

3° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi}
B = {Pirlo; Chiellini; Buffon}
L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme proprio.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi} - L’unione è formata dall’insieme A perché tutti gli elementi di B appartengono ad A
AÇB = {Pirlo; Chiellini; Buffon}- L’intersezione è l’insieme B perché sono gli elementi di B in comune con gli elementi di A.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Qual è il significato di questi simboli?
CÈD
CÇD

2.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m}
B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

3.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una lettera della parola “armadio”}
B = {b/b è una lettera della parola “radio”}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

4.      Dati questi due insiemi:

A = {mela; pera; albicocca}
B = {pesca; prugna
Rappresenta per elencazione e graficamente:
AÈB
AÇB

I sottoinsiemi

Consideriamo ora questi insiemi e rappresentiamoli graficamente:
A = {a/a è lettera della parola cuore}
B = {b/b è una lettera della parola ore}
C = {c/c è una lettera della parola dati}


Possiamo dire che l'insieme B è un sottoinsieme proprio dell'insieme A perchè ogni elemento di B appartiene ad A, ma c'è almeno un elemento di A che non appartiene a B. Sono invece sottoinsiemi impropri l'insieme vuoto Æ e l'insieme A stesso.

Consideriamo ora un insieme A:
A = {Luca; Marco; Giorgio}
Vediamo quali sono i suoi possibili sottoinsiemi:
{ {Luca}; {Marco}; {Giorgio}; {Luca; Marco}; {Luca; Giorgio}; {Marco; Giorgio}; {Luca; Marco; Giorgio}; Æ}
I primi sei sono i sottoinsiemi propri, mentre gli altri due sono sottoinsiemi impropri.
Se indico con B uno qualsiasi di questi sottoinsiemi, con la scrittura
B Ì A indico uno qualsiasi dei sottoinsiemi propri di A mentre con la scrittura
B Í A (si legge " B contenuto o uguale ad A) indico uno qualsiasi dei sottoinsiemi di A.

L'INSIEME DELLE PARTI

L'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A si chiama insieme delle parti di A e si indica con Ã(A) .
Se abbiamo
A = {a/a è una vocale della parola paperone}
l'insieme Ã(A) sarà (notate che i primi due sottoinsiemi sono impropri, gli altri sono propri):
Ã(A) = {Æ; {a;e;o}; {a}; {e}; {0}; {a;e}; {a;o}; {e;o} }

LA PARTIZIONE DI UN INSIEME 

Cosa significa fare una partizione in un insieme? Consideriamo l'insieme A formato da alcune regioni italiane:
A = {Piemonte; Liguria; Veneto; Toscana; Marche; Puglia; Campania; Calabria} e formiamo tre sottoinsiemi:
B = {b/b è una regione dell'Italia Settentrionale}
C = {c/c è una regione dell'Italia Centrale}

D = {d/d è una regione dell'Italia Meridionale}
Per elencazione avremo:
B = {Piemonte; Liguria; Veneto}

C = {Toscana; Marche}

D = {Puglia; Campania; Calabria}
Osserviamo le caratteristiche di questi sottoinsiemi:
  • Non ci sono elementi in comune tra i sottoinsiemi (infatti, se una regione appartiene, ad esempio, all'Italia Centrale, non può appartenere anche all'Italia Settentrionale)
  • Nessuno di questi sottoinsiemi è vuoto.
  • Riunendo i sottoinsiemi otteniamo di nuovo l'insieme di partenza A.
In questo caso abbiamo fatto una partizione dell'insieme A.
Operare una partizione dell'insieme significa dunque suddividerlo in due o più sottoinsiemi che devono rispettare queste condizioni:
- non devono avere elementi in comune
- non devono essere vuoti
- riuniti tutti i sottoinsiemi, si deve ottenere l'insieme di partenza.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI DA STAMPARE
1. Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono sottoinsiemi dell'insieme A:
A = {a/a è un pesce}


B = {trota; carpa; tinca; sogliola}
C = {orata; squalo; rondine; cane}
D = {sardina; acciuga; pesce spada; branzino}
E = {trota; orata; acciuga; alga}
2. Spiega il significato delle seguenti notazioni e rappresentale graficamente
  • X Ì Z
  • X Ì Z ÌY
  • X Ì Z - Y Ì Z - Y Ë X
3. Rappresenta per elencazione tutti i possibili sottoinsiemi propri dell'insieme A = {a; b; c}. Quanti sono?

4. Rappresenta per elencazione tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri dell'insieme A = {2; 4; 6}. Quanti sono?

5. Dato l'insieme A = {uva; mela; pera} individua tra i seguenti qual è l'insieme delle parti di A
- Ã(A) = {Æ; {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera}; {uva;mela; pera} }.
- Ã(A) = { {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera} {uva;mela; pera} }.
- Ã(A) = {Æ; {uva}; {mela}; {pera}; {uva; mela}; {uva; pera}; {mela; pera} }.

6. Perchè gli insiemi A = {1; 2; 3; 4} e C = {3; 4; 5; 6} non sono una partizione dell'insieme X = {1; 2; 3; 4; 5; 6}?

7. Esegui la partizione del seguente insieme sulla base del numero di lettere da cui è formata ogni parola e poi rappresenta la partizione graficamente:
    A = {ago; reo; vai; nemo; topo; rosa; mano; amaro; acido}


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca