Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Il calcolo delle probabilità

Se tutti i giorni lavorativi vado a scuola con la moto è molto probabile che anche domani vada a scuola con la moto, mentre è poco probabile che ci vada in auto ed è impossibile che ci vada in bicicletta perché non la possiedo.
Naturalmente queste previsioni sono soggettive, si riferiscono a me mentre un’altra persona potrebbe prevedere in modo totalmente diverso.

Lo studio della probabilità matematica, invece, deve sfuggire alla soggettività ed esprimere numericamente la probabilità che un evento casuale avvenga o meno.

Vediamo alcuni esempi.

Qual è la probabilità che venga estratto il numero 35 nel gioco della tombola?
I casi possibili sono 90, il caso favorevole è solo 1 quindi la probabilità è di 1/90.

Qual è la probabilità che al gioco della roulette esca il numero 12?

I casi possibili sono 38 ( i numeri da 1 a 36 + 0 e 00), il caso favorevole è solo uno quindi la probabilità è di 1/38.

Qual è la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero dispari?
I casi possibili sono 6, i casi favorevoli sono 3 (i numeri 1, 3, 5), quindi la probabilità è di 3/6, cioè ½.
Possiamo dunque affermare che la probabilità matematica di un evento casuale (p) è data dal rapporto tra i casi favorevoli (f) ed i casi possibili (n)
p = f/n

La probabilità matematica di un evento impossibile è 0.
Infatti, ad esempio, la probabilità di ottenere 7 lanciando un dado sarà 0/6 cioè 0.

La probabilità matematica di un evento certo è 1.
Infatti, ad esempio, la probabilità di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente solo 5 palline rosse sarà 5/5 cioè 1.

Abbiamo visto che la probabilità di un evento casuale si ottiene attraverso un calcolo del rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
Ad esempio la probabilità di estrarre un numero pari nel gioco della tombola è di 45/90 cioè 0,5 e la probabilità di estrarre un numero dispari è di 45/90, cioè 0,5.
Se noi giochiamo effettivamente a tombola e registriamo il numero di uscite di numeri pari (o dispari) otterremo la frequenza relativa, cioè il rapporto tra le volte in cui l’evento si è verificato ed il numero di prove effettuate. Ecco quello che ho ottenuto io:
NUMERO ESTRAZIONI
EVENTO: NUMERO PARI
FREQUENZA RELATIVA
10
6
6/10 = 0,60
20
11
11/20 = 0,55
50
30
30/50 = 0,60
100
55
55/100 = 0,55
200
103
103/200 = 0,51

Possiamo vedere che aumentando il numero delle prove effettuate, il valore della frequenza relativa si avvicina sempre più al valore della probabilità: infatti la frequenza F, dopo 200 estrazioni, è uguale a 0,51 mentre la probabilità p è uguale a 0,5.

Mettiamo in un sacchetto 10 palline numerate, appunto, da 1 a 10.
Consideriamo ora due eventi possibili, estraendo le palline:
E1 = “esce un numero pari”
E2 = “esce un numero minore di 5”
Notiamo che questi due eventi possono verificarsi contemporaneamente (se escono i numeri 2 o 4).
Due eventi che possono verificarsi contemporaneamente si dicono compatibili.

Consideriamo ora altri due eventi possibili, estraendo le palline dallo stesso sacchetto:
E1 = “esce il numero 5”
E2 = “esce il numero 4”
Notiamo che questi due eventi non possono verificarsi contemporaneamente e potrebbero anche non verificarsi per niente.
Due eventi che non possono verificarsi contemporaneamente si dicono incompatibili.

Se in un sacchetto mettiamo palline rosse e verdi e consideriamo due eventi:
E1 = “esce una pallina rossa”
E2 = “esce una pallina verde”
Notiamo che i due eventi sono incompatibili perché non possono verificarsi contemporaneamente, ma uno dei due si verificherà sicuramente: questi due eventi si dicono complementari.
Due eventi casuali si dicono complementari se non possono verificarsi contemporaneamente ma uno dei due si verificherà sicuramente, quindi la somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale ad 1.

ESERCIZI

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare casuali?
Comprare un quaderno
Trovare 5 euro per strada
Incontrare per strada il vicino di casa
Telefonare all’amico Giorgio
Andare in pizzeria

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare possibili?
Aprire a pagina 200 un libro di 180 pagine.
Ottenere 7 dal lancio di un dado.
Estrarre il numero 67 dal sacchetto della tombola.
Aprire casualmente il diario sul giorno del 13 dicembre.
Uscire il numero 40 alla roulette.

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare certi?
Ottenere testa lanciando una moneta.
Estrarre da una scatola contenente palline 5 rosse e 2 gialle una pallina rossa.
Ottenere un numero minore o uguale a 90 estraendo i numeri della tombola.
Dal lancio di due dadi ottenere un numero minore o uguale a 12.
Ottenere alla roulette un numero rosso.

·        Calcola la probabilità sia in frazione sia in percentuale dei seguenti eventi.

Lanciando un dado esce:
à        il numero 5 -
un numero dispari –

à        un numero maggiore di 4 –
un numero dispari maggiore di 2 -

à        un numero pari minore di 5 -
un numero maggiore di 2

Estraendo un numero della tombola esce:
à        un numero maggiore di 15 –
un numero minore di 35 –
un numero maggiore di 21 e minore di 59 –
un numero multiplo di 10 –

·         Calcola  la probabilità degli eventi indicati e rispondi alle domande
o  Lanciando un dado:
E1: esce il 3 –
E2: esce un numero dispari –
Gli eventi E1 ed E2 sono compatibili, incompatibili o complementari?

à     In un astuccio contenente 3 pennarelli neri, 1 pennarello grigio e 4 pennarelli blu:
E1: estrarre un pennarello nero –
E2: estrarre un pennarello non nero –
E2: estrarre un pennarello blu –
Gli eventi E1 ed E2 sono compatibili, incompatibili o complementari?

à        Tra i numeri 4 – 7 – 8 – 14 – 21 – 25 - 26:
E1: esce un multiplo di 4 –
E2: esce un multiplo di 7 –
Gli eventi E1 ed E2 sono compatibili, incompatibili o complementari? 

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi (in word, in pdf)
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni (in word, in pdf)

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca