Risolvere le espressioni aritmetiche

Ricordando che un’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati da segni di operazione e con l’eventuale presenza di parentesi, ricordiamo le principali regole da rispettare nella loro esecuzione.

Espressione che non contiene parentesi

Se l’espressione è costituita solo da addizioni e/o sottrazioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.
310 + 45 – 26 – 24 + 57
355 – 26 – 24 + 57
329 – 24 + 57
305 + 57 = 362
Se l’espressione è costituita solo da moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.
4 x 7 : 2 x 3 : 6 x 4
28 : 2 x 3 : 6 x 4
14 x 3 : 6 x 4
42 : 6 x 4
7 x 4 = 28
Se l’espressione è costituita da addizioni e/o sottrazioni con moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono indicate e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell’ordine in cui sono indicate.
11 + 3 x 521 : 3 + 8 – 5 x 4 : 2
11 + 15 – 7 + 8 – 20 : 2
11 + 15 – 7 + 8 – 10
26 – 7 + 8 – 10
19 + 8 – 10
27 – 10 = 17

Per stabilire l’ordine con cui eseguire i calcoli possono essere presenti tre tipi di parentesi: tonde ( ), quadre [ ], graffe {}.
Quali regole seguire se ci sono le parentesi in un‘espressione?

Espressione con parentesi

1.      Si eseguono per prime le operazioni nelle parentesi tonde, seguendo le regole già indicate ed eliminando le parentesi dopo aver eseguito tutte le operazioni al loro interno.
2.      Allo stesso modo si risolvono le operazioni dentro le parentesi quadre, se presenti.
3.      Si risolvono le operazioni dentro le parentesi graffe, se presenti.
4.      Eliminate tutte le parentesi si eseguono le operazioni restanti rispettando le precedenze già viste.

Esempio

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (28 : 4 – 3) : 2] – 70 } + 1
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde
95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (7 – 3) : 2] – 70 } + 1
Ora eseguiamo le operazioni dentro le parentesi quadre
95 : { 13 + 4 x [3 x 188 x 4 : 2] – 70 } + 1
95 : { 13 + 4 x [54 – 32 : 2] – 70 } + 1
95 : { 13 + 4 x [54 – 16] – 70 } + 1
Ora procediamo fino ad eliminare le parentesi graffe
95 : { 13 + 4 x 38 – 70 } + 1
95 : { 13 + 152 – 70 } + 1
95 : {165 - 70} + 1
Eseguiamo le operazioni rimaste
95 : 95 + 1
1 + 1 = 2


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI
  1. Senza parentesi
6 + 4 x 7 – 8 + 36 : 9 – 11
  1. Con numeri decimali
5,6 : 1,4 + 3,5 : 0,7 – 1,3 x 4
  1. Con parentesi tonde
70 – (14,6 – 0,6) + (2,7 + 36,3 – 12,5) – 42,5 + 3
  1. Anche con parentesi quadre
[(25 x 2 – 7 x 5) : 3 + (44 – 4 x 10) : 2] x 2 – 32 : 4
  1. Con tutte le parentesi
{(8 + 3) x 3 x 6 : 18 + [17 – 5 + 24 : 2 – (6 x 5 – 120 : 4) : 6] x 3 + 2

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Le moltiplicazioni con i numeri relativi

Il prodotto di due numeri relativi è un terzo numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno il segno positivo se i numeri sono concordi o il segno negativo se i numeri sono discordi.
(+ 4) . (+ 3) = + 12
(+ 5) . (- 6) = - 30
(- 7) . (+ 3) = - 21
(- 2) . (- 4) = + 8

Semplifichiamo in questa tabella.


Se occorre moltiplicare più numeri, si può procedere calcolando prima il valore assoluto moltiplicando tutti i valori assoluti e poi il segno applicando la regola studiata ai vari fattori in sequenza.

Si può anche procedere moltiplicando in sequenza le varie coppie di numeri, applicando la regola studiata.
Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

·        (- 6) . (- 2) . (+ 8)

·        (+ 5) . (- 5) . (+ 4)

























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Le addizioni algebriche

Poiché con i numeri relativi la sottrazione, in pratica, diventa un’addizione, ecco che possiamo ricondurre una successione di addizioni e sottrazioni fra numeri relativi ad un’unica operazione, chiamata addizione algebrica che ci darà un risultato detto somma algebrica.
L’addizione algebrica può essere resa più semplice sopprimendo le parentesi usate per separare il segno di operazione dal segno del numero e togliendo il segno di operazione.
Nel caso dell’addizione il numero mantiene lo stesso segno.
Es. : (+ 6) + (- 8) diventa 6 – 8 = - 2

Nel caso della sottrazione il secondo numero cambia il segno.
Es. : (+ 6) - (- 8) diventa 6 + 8 = 14

Vediamo un esempio su come si può eseguire un’addizione algebrica.


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

·         - 15 – (8 – 3 – 11) + ( - 3 – 8) – (+4 – 13) – 9

·        (+ 2 – 5 – 8) + 12 – (+ 4 + 4 – 9) + (- 2 + 10)












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La sottrazione con i numeri relativi

Vediamo le sottrazioni con i numeri relativi.
Se dobbiamo fare (+7) – (-5), occorre trovare un terzo numero che sommato al secondo dia come risultato il primo.
…….. + (-5) = (+7)
Immaginiamo una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. Partendo da (-5) per arrivare a (+7) dobbiamo spostarci di 12 verso destra.

Il numero che cerchiamo è (+12). Quindi
(+7) – (-5) = +12
Avremmo ottenuto lo stesso risultato operando così:
(+7) + (+5) = + 12
Questo esempio ci fa capire la regola fondamentale: per trovare la differenza di due numeri relativi possiamo addizionare al primo l’opposto del secondo.
Trasformiamo così la sottrazione in un’addizione di cui conosciamo già le regole di esecuzione.
Vediamo alcuni esempi per capire meglio:
·        (+7) – (+4)            trasformo in addizione mettendo l’opposto del secondo numero
(+7) + (-4) = +3
·        (+8) – (-11)
(+8) + (+11) = + 19
·        (-4) – (+9)
(-4) + (-9) = - 13
·        (-8) – (-3)
(-8) + (+3) = -5

Nel caso di sottrazioni con numeri razionali la regola fondamentale resta la stessa. Vediamo un esempio.



Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1) Individua, tra le seguenti, quali sono le sottrazioni errate e poi scrivi il risultato corretto
· (+6) – (+6)
  (+6) + (+6) = +12
· (+11) – (-2)
  (+11) + (+2) = +13
· (-8) – (-3)
  (+8) + (+3) = +11
· (-4) – (-4)
  (-4) + (+4) = 0

2) Esegui
(-3) – (+5)
(+1) – (-1)
(+9) – (+11)
(-20) – (-11)
(-4,6) – (+2,4)











I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.
Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.
Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.
Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:
triangolo equilatero: 3 lati congruenti
triangolo isoscele: 2 lati congruenti
triangolo scaleno: 3 lati disuguali
Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele.

Classifichiamo i triangoli rispetto all'ampiezza degli angoli in:
triangolo acutangolo: tre angoli acuti
triangolo rettangolo: un angolo è retto
triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.
In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.
Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.
Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?
·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?
·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?
·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo
a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20
d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26
g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18
·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo
a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46
d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70
·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?
·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?
·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?
·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali
·        Quante sono le altezze di un triangolo?
·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?
·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?
·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?
·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli
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I poligoni

Poligono è detta quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.


I segmenti che formano la linea spezzata si dicono lati del poligono, gli estremi dei segmenti vertici, gli angoli formati da due segmenti consecutivi sono gli angoli interni del poligono.
Il segmento che collega due vertici non consecutivi si chiama diagonale del poligono.
La linea spezzata è il contorno del poligono e la misura del contorno è il perimetro.

Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero.
Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo.
Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare.
In base al numero dei lati i poligoni prendono nomi diversi:
3 lati
triangolo
4 lati
quadrilatero
5 lati
pentagono
6 lati
esagono
7 lati
ettagono
8 lati
ottagono
9 lati
ennagono
10 lati
decagono

Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo.
Vediamo ora alcune proprietà dei poligoni.
Se un poligono ha n lati (n sta per un qualunque numero), avrà anche n vertici, n angoli interni, n angoli esterni. Per ogni vertice ci saranno (n – 3) diagonali, quindi un triangolo non avrà diagonali (3 – 3 = 0), un quadrato ne avrà (4 – 3 = 1) per ogni vertice, un esagono avrà (6 – 3) diagonali per ogni vertice.

Immaginiamo ora di percorrere il contorno del seguente poligono partendo dal vertice A.

Tutti gli angoli che incontriamo percorrendo in senso orario il poligono una sola volta, formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo si dicono angoli esterni del poligono.
La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono, indipendentemente dal numero dei lati,  corrisponde sempre ad un angolo giro, quindi misura 360°.
a + b + d + e + g = 360°
L’angolo esterno e quello interno con il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari.
d + l = 180 °
La somma degli angoli interni di un poligono di n lati corrisponde sempre a (n – 2) angoli piatti.
Quindi la somma degli angoli interni di un poligono di 5 lati sarà = (5 – 2) x 180° = 3 x 180° = 540°
Un’ultima annotazione: in un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZIO

  1. Che cos’è un poligono?
  2. Disegna un poligono convesso
  3. Disegna un poligono concavo
  4. In un qualunque poligono quanto misura la somma degli angoli esterni?
  5. Quando un poligono si dice regolare?
  6. In un poligono di 8 lati, quante sono le diagonali per ogni vertice?
  7. Per ogni gruppo indicante la lunghezza di segmenti, scrivi se è possibile costruire un poligono
    1. 10, 11, 14, 6
    2. 14, 29, 8, 4, 3
    3. 16, 15, 6, 10
    4. 17, 36, 12
  8. Considera i dati di questo poligono e poi rispondi:

AB = 8,1 cm
BC = 2,8 cm
DA = 7,9 cm
CD = BC
a = 36°
b = 52°
d = 44°
Quanti sono i lati del poligono? Qual è il nome del poligono?
Si tratta di un poligono convesso o concavo?
Calcola il suo perimetro
Calcola l’ampiezza dell’angolo w

9. Consideriamo un quadrilatero, di cui conosciamo i seguenti dati:
    1. L’angolo maggiore misura 108°
    2. L’angolo minore misura 24° 13’ 04’’
    3. Gli altri due angoli sono congruenti
Calcola l’ampiezza degli angoli congruenti.

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

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Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
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Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca