Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

lunedì 23 gennaio 2017

Semirette e segmenti

Che cos’è una semiretta?
Per fartene un’idea immagina una strada che non ha inizio né fine, una strada infinita. Noi ci troviamo su un punto di questa strada e possiamo quindi decidere di percorrerla in un verso o nell’altro: in ognuno dei due casi partiamo dal punto stabilito e possiamo proseguire all’infinito.
Nella realtà concreta però non esiste la semiretta, è un’astrazione geometrica.
Prendiamo una retta r, stabiliamo su questa un punto O.


Il punto O divide la retta in due parti r1 e r2, ciascuna delle quali ha origine dal punto O e continua all’infinito. Queste due parti sono le semirette. Possiamo quindi dire che un punto su una retta individua due semirette, che possiamo così definire: “la semiretta è una parte della retta che ha un punto di origine ed è infinita”.

Consideriamo ora la stessa strada  immaginaria ed infinita di prima. Su questa strada noi però possiamo muoverci solo tra due punti, quindi il nostro percorso ha un inizio ed una fine.
Vediamo la situazione geometrica con una rappresentazione grafica:

Notiamo che, individuando 2 punti sulla retta, questa resta divisa in 3 parti, le semirette r1 e r2 che già conosciamo e la parte di retta compresa tra i punti A e B. Questa parte di retta si chiama segmento e si indica

Per ragioni di tastiera d’ora in avanti indicheremo i segmenti senza il trattino sopra, solo col nome dei punti che lo delimitano: segmento AB. Possiamo quindi definire il segmento: “è una parte di retta delimitata da 2 punti. Ha un inizio ed una fine.”

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune solo un punto.

Due segmenti sono invece adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, appartengono alla stessa retta.


Il confronto di segmenti si opera mediante sovrapposizione, facendo coincidere almeno un estremo.
Dal confronto possono risultare queste situazioni:
·        I due segmenti hanno la stessa lunghezza: sono congruenti

Possiamo dire che AB @ CD (il segmento AB è congruente al segmento CD
Il simbolo º significa “coincide”
Se due segmenti non sono congruenti, uno sarà maggiore e l’altro minore

In questo caso AB > CD e quindi CD < AB

Proviamo ora a trovare il segmento somma, disegnando entrambi i segmenti in modo che siano adiacenti.

Il segmento somma è il segmento AD. Infatti AB + CD = AD

Troviamo infine il segmento differenza, sovrapponendo i due segmenti in modo che coincida un estremo.

Il segmento differenza sarà il segmento DB. Infatti AB – CD = DB

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1.      Come sono tra loro questi segmenti?
2.      Per quale dei due esempi è vera la frase: AB e CD sono segmenti adiacenti

3.      Prova  a dare una definizione di semiretta
4.      Per due punti quanti segmenti possono passare?
5.      Osserva e confronta

AB …….. BC
AC …….. AB

Quanti segmenti vedi? Colorali di verde.
Quante semirette vedi? Colorale di rosso
6.     

Quale affermazione è vera?
AB > CD
AB @ CD
AB < CD


mercoledì 11 gennaio 2017

Gli enti geometrici fondamentali: punto, retta, piano

La geometria studia la forma, la grandezza e la posizione dei corpi materiali.
Gli enti geometrici fondamentali sono tre: il punto, la retta ed il piano. Essi costituiscono delle astrazioni.
Cominciamo dal punto geometrico: non ha alcuna grandezza, ma solo una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto.




Un insieme infinito e continuo di punti che hanno sempre la stessa direzione costituisce una retta. Come già il punto, anche la retta non esiste nella realtà materiale perché non ha né spessore né larghezza. L’unica dimensione della retta è la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto.

Vediamo ora il piano, anche questo non esistente nella realtà concreta, perché è un insieme continuo ed infinito di rette, privo di spessore, con due sole dimensioni: lunghezza e larghezza. Per indicarlo si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, δ, ....).

Cerchiamo di capire ora alcune proprietà degli enti fondamentali.
Per un punto A passano infinite rette.


Per due punti distinti A e B passa una sola retta.


Per tre punti distinti passa una sola retta, solo se i tre punti sono allineati.


Per una retta passano infiniti piani

Per tre punti non allineati passa un solo piano.


Vediamo quali possono essere le posizioni reciproche di due rette.



La retta t e la retta s appartengono al piano α (s, t   α). Infatti l’insieme dei punti della retta s e l’insieme dei punti della retta t sono inclusi nel piano α
{s} {t}  {α}.
L’intersezione tra la retta s e la retta t (ciò che hanno in comune) è costituita dal punto Q.
{s}  {t} = Q.
Le due rette sono quindi incidenti perché appartengono allo stesso piano ed hanno un punto in comune.


La retta c appartiene al piano γ mentre la retta d non appartiene al piano γ ( γ; d  γ). Infatti l’insieme dei punti della retta c è incluso nel piano γ  mentre l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano γ
{c}  {γ}; {d}  ⊄ {γ}.
L’intersezione tra la retta c e la retta d (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{c}  {d}.
Le due rette sono quindi sghembe perché non appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.


La retta a e la retta b appartengono al piano β (a, b   β). Infatti l’insieme dei punti della retta a e l’insieme dei punti della retta b sono inclusi nel piano β.
{a} {b}  {β}.
L’intersezione tra la retta a e la retta b (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{a}  {b}.
Le due rette sono quindi parallele perché appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Il postulato delle parallele: considerata una retta ed un punto non appartenente alla retta, per quel punto passa una sola retta parallela a quella data.


Se consideriamo una retta ed un piano e le loro posizioni reciproche possiamo avere queste situazioni:


La retta a giace nel piano α. La retta a appartiene al piano α (a  α). Infatti l’insieme dei punti della retta a è incluso nel piano α.
{a}  {α}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è costituita dalla retta stessa  {a}  {α} = a.



La retta b è parallela al piano β. La retta b non appartiene al piano β (b  β). Infatti l’insieme dei punti della retta b non è incluso nel piano β.
{b} ⊄ {β}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto  {b}  {β}.



La retta d è incidente al piano δ. La retta d non appartiene al piano δ (d  δ). Infatti l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano δ.
{d} ⊄ {δ}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è il punto P  {d}  {δ} = P.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

  1. Quante e quali dimensioni ha la retta?
  2. Quante rette passano per un punto?
  3. Quante rette passano per due punti?
  4. Quante e quali dimensioni ha il piano?
  5. Disegna tre punti A, B e C in un piano δ, in modo che ci sia una sola retta che li unisca. Come devono essere i tre punti?
  6. Disegna tre rette a, b, c appartenenti allo stesso piano e che godano di queste proprietà
a  b  c
Come sono tra loro le rette?
  1. Guarda la figura e completa le uguaglianze
a  b = …..
d  c = …..
a  d = …..
b  c = …..


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca