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Riduzione al m.c.d.


Consideriamo queste tre frazioni: 27/15, 20/25 e 24/9 e proponiamoci di trasformarle in altre frazioni equivalenti, tutte e tre con lo stesso denominatore. Ovviamente questo denominatore comune dovrà essere un multiplo comune ai tre denominatori e sarà più semplice operare se sarà il minimo comune multiplo.
Questa operazione si chiama riduzione al minimo comune denominatore e richiede alcuni passaggi.
1)      Innanzitutto, se le frazioni sono riducibili, conviene ridurle ai minimi termini come abbiamo già spiegato in un precedente post.

2)      Una volta ridotte le frazioni ai minimi termini occorre calcolare il m.c.m dei denominatori che si indica con m.c.d.
Nel nostro caso dobbiamo calcolare il m..c.d. di 9/5, 4/7, 8/3
m.c.d (5, 7, 3) = 105
3)      Dobbiamo ora trasformare le frazioni ridotte ai minimi termini in altre frazioni equivalenti che abbiano come denominatore 105.
E’ evidente che dobbiamo trovare quante volte 105 è multiplo di 5, di 7 e di 3. Per farlo è sufficiente dividere 105 rispettivamente per 5, 7 e 3.
105 : 5 = 21
105 : 7 = 15
105 : 3 = 35
Infine è sufficiente applicare la proprietà invariantiva delle frazioni per individuare il numeratore.
L’operazione che abbiamo fatto si chiama riduzione al minimo comune denominatore e ci ha permesso di trasformare le frazioni di partenza in altre equivalenti alle frazioni date e con lo stesso denominatore.

Vediamo un altro esempio, riducendo al minimo comune denominatore queste tre frazioni: 12/15; 21/28; 5/2
Le prime due frazioni sono riducibili mentre la terza è una frazione irriducibile. Riduciamo ai minimi termini le prime due frazioni
Calcoliamo il m.c.d. dei denominatori
m.c.d (5, 4, 2) = 20
Trasformiamo le frazioni di partenza in altre equivalenti con denominatore 20. Dividiamo 20 per i denominatori
20: 5 = 4
20: 4 = 5
20 : 2 = 10
Applichiamo la proprietà invariantiva per trovare i nuovi numeratori

ESERCIZI

·     Riduci ogni gruppo di frazioni al m.c.d.
a.      4/3, ½;
b.      9/4, 5/6;
c.       8/12, 7/5;
d.      16/20, 9/21;
e.      13/15, 16/10, 6/24;
f.        20/65, 45/60, 55/80, 28/48;

Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini


Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  ed operiamo con queste frazioni sulla medesima grandezza, questa:
Otteniamo:


Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale, abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre casi.
Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  sono equivalenti e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.

Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?
Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che

Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette alcuni utilizzi molto importanti.
Ad esempio permette di semplificare una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è più semplice operare.
Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.
Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi modi.
Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra loro.
Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27; 20/7; 25/20

Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere una frazione equivalente ed irriducibile.

Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.

Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile.
Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.
Vediamo un esempio:
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126

48
2
24
2
12
2
6
2
3
3
1

126
2
63
3
21
3
7
7
1








48 = 24 x 3                  126 = 2 x 32 x 7
M.C.D. = 2 x 3 = 6


Un altro esempio
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150

45
3
15
3
5
5
1

150
2
75
3
25
5
5
5
1








45 = 32 x 5                  150 = 2 x 3 x 52
M.C.D. = 3 x 5 = 15


ESERCIZI

·     Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?
·     Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile?
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti
2/3; 6/7; 4/6; 3/2; 6/8; 6/9; 12/18; 18/21;
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili
20/30; 5/3; 4/8; 7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili
12/18; 6/5; 3/14; 9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24
·     Completa le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro

·     Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
34/126; 66/77; 15/50; 27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200


I monomi


Osserviamo queste espressioni letterali:

Notiamo che sono formate da un numero e da alcune lettere.
Notiamo anche che in queste espressioni letterali non c’è alcuna addizione algebrica, lettere e numeri sono legati solo da moltiplicazioni o divisioni.
Si tratta quindi di monomi, intendendo per monomio un’espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni.

+ 5ab2c è un monomio

3abc + 4ab non è un monomio

In ogni monomio quindi abbiamo una parte numerica che si dice “coefficiente del monomio” ed una “parte letterale”

Da notare che se manca il coefficiente, deve intendersi sottinteso il coefficiente + 1 o -1
+ abc sottintende il coefficiente + 1
a2bc sottintende il coefficiente + 1
- abc2 sottintende il coefficiente – 1

Due monomi sono uguali quando hanno uguale sia il coefficiente che la parte letterale.
Due monomi sono simili se hanno un diverso coefficiente ma uguale parte letterale.
Due monomi sono opposti se sono simili ed hanno quindi la stessa parte letterale, ma coefficiente opposto.

Un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.
Il grado del monomio rispetto ad una lettera corrisponde all’esponente con cui quella lettera è presente nel monomio
Il grado del monomio rispetto alla lettera a è 2
Il grado del monomio rispetto alla lettera b è 1
Il grado del monomio rispetto alla lettera c è 3

Il grado complessivo del monomio o grado del monomio corrisponde alla somma degli esponenti delle lettere presenti nel monomio
Il grado del monomio è 2 + 1 + 3 = 6

ESERCIZI

·     Che cos’è un monomio?
·     Definisci i monomi uguali, simili ed opposti e fai un esempio per ciascun tipo
·     Cerchia i monomi


·     In ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente e la parte letterale



·     Per ogni monomio indica il grado rispetto a ciascuna lettera



·     Per ogni monomio dell’esercizio precedente indica il grado complessivo


 ·     Scrivi un monomio uguale al seguente

·     Scrivi due monomi simili ad ognuno dei seguenti monomi
 ·     Scrivi il monomio opposto a ciascuno dei seguenti monomi

Rotazioni e traslazioni


Dopo aver esaminato la congruenza, vediamo un altro movimento rigido, la traslazione.
Quella che vedi sopra è una traslazione.
Nel linguaggio matematico il termine “traslazione” significa un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) in cui le traiettorie descritte da ciascuno dei punti che lo compongono sono uguali e parallele.
Puoi verificare nella figura sopra che le linee tratteggiate che descrivono lo spostamento dei punti al vertice risultano essere tra loro parallele e della stessa lunghezza.

Per individuare una traslazione occorre sapere la lunghezza (o modulo), la direzione ed il verso della stessa.
A tal fine si usa il vettore, cioè un segmento con una lunghezza definita (detta anche modulo), una direzione data dalla retta a cui appartiene ed un verso indicato dalla punta della freccia.
Ecco, ad esempio, il vettore della traslazione raffigurata sopra.
E’ evidente che due figure ottenute per traslazione sono direttamente congruenti.


Un altro movimento rigido è la rotazione.
Immaginiamo di avere un punto A qualsiasi e di sottoporlo ad una rotazione.
Ci serve un punto fisso, che chiameremo O, sul quale puntiamo il compasso che avrà un’apertura uguale alla lunghezza del segmento OA

Per sapere quale dovrà essere l’ampiezza e il verso della rotazione ci serve un angolo orientato che ci indichi l’ampiezza (o modulo) ed il verso orario o antiorario. Immaginiamo di voler ruotare il punto A secondo l’angolo orientato 
Ricordiamo che l’angolo orientato si indica diversamente a seconda che il verso della rotazione sia orario o antiorario. 

Riepilogando: abbiamo il compasso puntato in O con apertura uguale al segmento OA, ruotiamo il compasso in verso orario descrivendo un arco di 50°. Il punto A’ all’estremità dell’arco è il corrispondente di A.
Nel linguaggio matematico il termine “rotazione” indica un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) individuato da un centro di rotazione (il punto fisso O) e da un angolo orientato che indica l’ampiezza ed il verso di spostamento.
Proviamo ora ad effettuare una rotazione, individuata dal punto fisso O, di un triangolo ABC secondo l’angolo orientato 
Sarà sufficiente effettuare la rotazione dei vertici A, B, C secondo la modalità già descritta in modo da trovare i corrispondenti A’, B’, C’.


ESERCIZI

·   Come sono due figure ottenute per traslazione?
·  Che cos’è una rotazione?
·  Come puoi spiegare il concetto di angolo orientato?
·   Disegna le figure A’ e A’’ ottenute (sempre partendo da A) con le traslazioni individuate dai due vettori indicati. 
·     Disegna le figure B’, B’’, B’’’ ottenute con le traslazioni individuate dai tre vettori indicati, applicandole successivamente ad ogni figura ottenuta. 

·     Qual è il vettore che individua la seguente traslazione? 

·     Quali sono i due vettori che individuano le seguenti traslazioni successive? 

·     Data la figura disegnata, effettua la rotazione di centro O e dell’ampiezza indicata 

Le frazioni


Sappiamo già che frazionare significa suddividere in parti uguali un intero che può essere costituito da una quantità continua o discontinua. 
Consideriamo un rettangolo intero e dividiamolo in 6 parti uguali.
Ognuna delle parti costituisce “un sesto” del rettangolo che indichiamo1/6
Vediamo ora un cerchio intero suddiviso in 4 parti uguali.
Ogni parte rappresenta “un quarto” e si indica 1/4
Poiché queste frazioni rappresentano una ed una sola delle parti in cui abbiamo diviso la grandezza intera, diremo che 1/6 e 1/4 sono unità frazionarie.
 Le unità frazionarie indicano quindi una sola delle parti in cui è diviso un intero.

Guardiamo ora questa figura
Vediamo che abbiamo considerato 4 volte l’unità frazionaria 1/6
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6

Se invece osserviamo quest’altra figura
vediamo che abbiamo considerato 3 volte l’unità frazionaria ¼
¼ + ¼ + ¼  = ¾

4/6, ¾ sono frazioni
La frazione è quindi un operatore che divide un intero in parti uguali e ne considera alcune di esse.

Possiamo classificare le frazioni in: proprie, improprie, apparenti.
Guardiamo questo esempio
La frazione 3/5 rappresenta la parte colorata del rettangolo. Si tratta di una parte minore dell’intero.


La frazione 5/8 rappresenta la parte colorata dell’intero. Si tratta di una parte minore dell’intero.
3/5 e 5/8 sono frazioni proprie.
Una frazione è propria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza minore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni proprie perché il numeratore è minore del denominatore.

Osserviamo ora questi esempi
La frazione 7/5 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del rettangolo intero.
La frazione 5/4 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del cerchio intero.
7/5 e 5/4 sono frazioni improprie.
Una frazione è impropria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza maggiore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni improprie perché il numeratore è maggiore (ma non multiplo) del denominatore.

Consideriamo ora quest’altro esempio
La frazione 5/5 rappresenta la parte colorata e corrisponde all’intero.
La frazione 12/4 rappresenta la parte colorata e corrisponde a 3 interi.
5/5 e 12/4 sono frazioni apparenti.
Una frazione è apparente quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza congruente o multipla di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni apparenti perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.


Abbiamo operato su una grandezza intera ed abbiamo ottenuto la frazione che rappresenta la parte colorata: 4/9
Abbiamo operato sulla stessa grandezza ed abbiamo ottenuto un’altra frazione che rappresenta la parte colorata: 5/9

Se consideriamo la somma delle due grandezze ottenute otteniamo una grandezza che è congruente alla grandezza di partenza. Infatti: 4/9 + 5/9 = 9/9
4/9 e 5/9 sono frazioni complementari.
Due frazioni sono complementari quando, operando con esse su una grandezza, otteniamo due grandezze la cui somma è congruente alla grandezza di partenza.

ESERCIZI

·     Completa la seguente tabella
Frazioni
Numeratore
Denominatore
Unità frazionaria
N° delle unità frazionarie considerate
4/5





5
7


6/13




3/7





4
9


·     Quale unità frazionaria rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quale frazione rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quando possiamo dire che due frazioni sono complementari?
·     Fra le seguenti coppie di frazioni cerchia quelle complementari
3/8 e 5/8;  5/10 e 4/10; 3/11 e 8/11; 2/9 e 5/9; 8/10 e 6/10; 3/7 e 4/7; 1/10 e 9/10; 13/20 e 7 /20
·     Quando possiamo dire che una frazione è propria?
·     Quando possiamo dire che una frazione è impropria?
·     Quando possiamo dire che una frazione è apparente?
·     Considera l’insieme:





e scrivi per elencazione i seguenti sottoinsiemi:
B = {x/x Î A ed è frazione propria}
C = {x/x Î A ed è frazione impropria}
D = {x/x Î A ed è frazione apparente}


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca