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Le moltiplicazioni con i numeri relativi

Il prodotto di due numeri relativi è un terzo numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno il segno positivo se i numeri sono concordi o il segno negativo se i numeri sono discordi.
(+ 4) . (+ 3) = + 12
(+ 5) . (- 6) = - 30
(- 7) . (+ 3) = - 21
(- 2) . (- 4) = + 8

Semplifichiamo in questa tabella
Se occorre moltiplicare più numeri, si può procedere calcolando prima il valore assoluto moltiplicando tutti i valori assoluti e poi il segno applicando la regola studiata ai vari fattori in sequenza
Si può anche procedere moltiplicando in sequenza le varie coppie di numeri, applicando la regola studiata
ESERCIZI

·        (- 6) . (- 2) . (+ 8)

·        (+ 5) . (- 5) . (+ 4)






















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I poligoni

Poligono è detta quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa.
I segmenti che formano la linea spezzata si dicono lati del poligono, gli estremi dei segmenti vertici, gli angoli formati da due segmenti consecutivi sono gli angoli interni del poligono.
Il segmento che collega due vertici non consecutivi si chiama diagonale del poligono.
La linea spezzata è il contorno del poligono e la misura del contorno è il perimetro.
Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero.
Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo.
Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare.
In base al numero dei lati i poligoni prendono nomi diversi:
3 lati
triangolo
4 lati
quadrilatero
5 lati
pentagono
6 lati
esagono
7 lati
ettagono
8 lati
ottagono
9 lati
ennagono
10 lati
decagono

Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo.
Vediamo ora alcune proprietà dei poligoni
Se un poligono ha n lati (n sta per un qualunque numero), avrà anche n vertici, n angoli interni, n angoli esterni. Per ogni vertice ci saranno (n – 3) diagonali, quindi un triangolo non avrà diagonali (3 – 3 = 0), un quadrato ne avrà (4 – 3 = 1) per ogni vertice, un esagono avrà (6 – 3) diagonali per ogni vertice.

Immaginiamo ora di percorrere il contorno del seguente poligono partendo dal vertice A.

Tutti gli angoli che incontriamo percorrendo in senso antiorario il poligono una sola volta, formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo si dicono angoli esterni del poligono.
La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono, indipendentemente dal numero dei lati,  corrisponde sempre ad un angolo giro, quindi misura 360°.
a + b + d + e + g = 360°
L’angolo esterno e quello interno con il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari
d + l = 180 °
La somma degli angoli interni di un poligono di n lati corrisponde sempre a (n – 2) angoli piatti.
Quindi la somma degli angoli interni di un poligono di 5 lati sarà = (5 – 2) x 180° = 3 x 180° = 540°
Un’ultima annotazione: in un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati.

ESERCIZIO

  1. Che cos’è un poligono?
  2. Disegna un poligono convesso
  3. Disegna un poligono concavo
  4. In un qualunque poligono quanto misura la somma degli angoli esterni?
  5. Quando un poligono si dice regolare?
  6. In un poligono di 8 lati, quante sono le diagonali per ogni vertice?
  7. Per ogni gruppo indicante la lunghezza di segmenti, scrivi se è possibile costruire un poligono
    1. 10, 11, 14, 6
    2. 14, 29, 8, 4, 3
    3. 16, 15, 6, 10
    4. 17, 36, 12
  8. Considera i dati di questo poligono e poi rispondi:

AB = 8,1 cm
BC = 2,8 cm
DA = 7,9 cm
CD = BC
a = 36°
b = 52°
d = 44°
Quanti sono i lati del poligono? Qual è il nome del poligono?
Si tratta di un poligono convesso o concavo?
Calcola il suo perimetro
Calcola l’ampiezza dell’angolo w

9. Consideriamo un quadrilatero, di cui conosciamo i seguenti dati:
    1. L’angolo maggiore misura 108°
    2. L’angolo minore misura 24° 13’ 04’’
    3. Gli altri due angoli sono congruenti
Calcola l’ampiezza degli angoli congruenti
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La notazione esponenziale

Consideriamo le potenze di 10
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
106 = 1 000 000
107 = 10 000 000
108 = 100 000 000
109 = 1 000 000 000
1010 = 10 000 000 000
Possiamo vedere che i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall’esponente.
Ora, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale.
Vediamo come fare.
Consideriamo il numero 4 567 703
Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale:
4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1
Considerato quanto abbiamo detto all’inizio, dalla scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale
4 x 106 + 5 x 105 + 6 x 104 + 7 x 103 + 7 x 102 + 3 x 100
Vediamo un altro esempio.
54 000 540
Scrittura polinomiale: 5 x 10 000 000 + 4 x 1 000 000 + 5 x 100 + 4 x 10
Notazione esponenziale: 5 x 107 + 4 x 106 + 5 x 102 + 4 x 101
Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi numeri che terminano tutti con uno o più zeri.
80 000 000 000 = 8 x 1010
25 000 000 000 000 = 2 x 1013 + 5 x 1012 oppure possiamo indicare anche così: 25 x 1012 (dopo le cifre 25 ci sono 12 zeri)
32 400 000 = 3 x 107 + 2 x 106 + 4 x 105 oppure 324 x 105
1 200 = 1 x 103 + 2 x 102 oppure 12 x 102
Le potenze ci permettono di scrivere anche numeri molto piccoli in modo semplificato attraverso la notazione esponenziale.
Vediamo questi esempi:
101 : 102 = 10 : 100 = 0,1
101 : 102 = 101-2 = 10-1
Quindi 0,1 = 10-1

101 : 103 = 10 : 1 000 = 0,01
101 : 103 = 101-3 = 10-2
Quindi 0,01 = 10-2

101 : 104 = 10 : 10 000 = 0,001
101 : 104 = 101-4 = 10-3
Quindi 0,001 = 10-3

Proseguendo
0,0001 = 10-4
0,00001 = 10-5
0,000001 = 10-6
Notiamo che il numero di cifre decimali corrisponde all’esponente negativo

Siamo quindi ora in grado di scrivere con la notazione esponenziale anche i numeri decimali.
Es.:
6,2894
Scrittura polinomiale
6 x 1 + 2 x 0,1 + 8 x 0,01 + 9 x 0,001 + 4 x 0,0001
Notazione esponenziale
6 x 100 + 2 x 10-1 + 8 x 10-2 + 9 x 10-3 + 4 x 10-4

ESERCIZI
1.      Indica se le seguenti potenze sono esatte e correggi quelle errate
103 = 1 000
108 = 10 000 000
105 = 10 000
107 = 10 000 000
10-3 = 0,0001
10-2 = 0,01
10-5 = 0,00001

2.      Indica se le seguenti uguaglianze sono corrette e procedi alla correzione di quelle sbagliate
6 804 = 6 x 103 + 8 x 102 + 4 x 100
30 482 = 3 x 104 + 4 x 103 + 8 x 102 + 2 x 101
870 000 = 8 x 105 + 7 x 104
400 380 = 4 x 104 + 3 x 103 + 8 x 102
42 x 108 = 42 000 000
8 x 105 = 80 000
32 000 000 = 32 x 106
54 000 000 000 = 54 x 107

3.      Scrivi usando la notazione esponenziale i seguenti numeri
843 000 =
250 000 000 =
6 100 000 000 000 =
0,0008 =
0,0000000006 =

4.      Scomponi usando la notazione esponenziale
6,236 =
818,2 =
3 804,27 =
83,007 =


Espressioni con le potenze

Per eseguire espressioni con le potenze, ricordiamo di eseguire le potenze, prima di tutte le altre operazioni. Fatto ciò, sarà sufficiente seguire le regole già conosciute per calcolare il valore di una espressione.
Vediamo un esempio.
{[(93: 9 + 65: 63 – 33) : 32 + 1]2 – 202 : (32 x 2 – 23)2 - 34}2 : 33
{[(92 + 62 – 27) : 9 + 1]2 – 400 : (9 x 2 – 8)2 - 81}2 : 27
{[(81 + 36 – 27) : 9 + 1]2 – 400 : (18 – 8)2 - 81}2 : 27
{[90 : 9 + 1]2 – 400 : 102 - 81}2 : 27
{[10 + 1]2 – 400 : 100 - 81}2 : 27
{112 – 4 - 81}2 : 27
{121 – 4 - 81}2 : 27
362 : 27
1296 : 27 = 48



ESERCIZI

{ 53 + 40 – [102 + 132 : 13 x 5 – 55 + (52 x 22 + 23 x 10) : 4 – 20]}

{[(72 – 23 x 6)5 x (82 – 63)3 + (32 x 5 – 148 : 147)] : 42 + 25 - 22}2

{53 – 30 – 2 x [52 – 4 x (64 : 64 – 1 + 5)] + 7 x 2} + 43 : 43

[(32 – 2) x 5 – 32] : 13 + [(34 : 3 + 5 ) : 24 + 16] : 18

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca