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Potenze con i numeri relativi


Ricordiamo che l’elevamento a potenza è quella operazione in cui moltiplichiamo la base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.
Esaminiamo alcuni esempi con i numeri relativi:
(+ 5)2 = (+5) . (+5) = +25
(+3)3 = (+3) . (+3) . (+3) =  (+ 9) . (+3) = +27
(-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) =  (+4) . (-2) . (-2) =  (-8) . (-2) = +16
(-6)5 = (-6) . (-6) . (-6) . (-6) . (-6) = (+36) . (-6) . (-6) . (-6) = (- 216) . (-6) . (-6) = (+1296) . (-6) = (- 7776)
Possiamo osservare come il risultato di potenze che hanno per base un numero relativo sia un altro numero relativo ottenuto moltiplicando il valore assoluto della base per se stesso tante volte quante indicate dall’esponente e sempre con segno positivo tranne il caso in cui la base è negativa e l’esponente è dispari.

Anche con i numeri relativi, le potenze mantengono le loro proprietà
·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti
Es.: 
 
·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi
Es.:
·    Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti
(+ 5) 4 : (+ 5)2 = (+ 5)4-2 = (+ 5)2 = 25

·    Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi
(+15)6 : (-3)6 = [(+15) : (-3)]6 = [-5]6 = 15625

·    Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti
 Es.:
·    La potenza di un numero relativo con esponente 1 è uguale al numero stesso
Es.:
 
·    La potenza di un qualunque numero relativo con esponente 0 è sempre uguale ad 1
Es.:


--------------------------------------------------------------------------------------------------
Tutte le potenze considerate finora avevano esponente positivo. Come fare se una potenza, invece, ha esponente negativo?

Consideriamo, ad esempio,
(+8)- 3
Facendo riferimento ad una delle proprietà precedentemente viste, possiamo considerare la potenza come quoziente della divisione (+8)3 : (+8)6
(+8)- 3 = (+8)3 : (+8)6
Proviamo a scrivere questa divisione sotto forma di frazione

Possiamo dunque affermare che la potenza di un numero relativo che ha esponente negativo è il reciproco della potenza data con esponente positivo opposto all’esponente dato. Vediamo qualche altro esempio:

ESERCIZI
Calcola e risolvi applicando le proprietà adatte
·    (+4)2 . (+4)
·    (-2)3 . (-2)2
·    (-6)5 : (-6)3
·    (+5)3 . (+2)3

Quadrilateri: caratteristiche e classificazione


Sappiamo che i quadrilateri sono poligoni con 4 lati, 4 vertici e 4 angoli.
Come abbiamo già visto parlando di poligoni, la somma degli angoli esterni è sempre 360° così come la somma degli angoli interni segue la regola (n° lati – 2) angoli piatti, quindi anche la somma degli angoli interni sarà 360°.
Anche nei quadrilateri ogni lato deve essere minore della somma degli altri lati.
Le diagonali per vertice seguono la regola (n° lati – 3), quindi nei quadrilateri avremo una diagonale per vertice. Un quadrilatero complessivamente ha 2 diagonali.
Vediamo ora come possiamo classificare i quadrilateri.
L’insieme Q dei quadrilateri convessi si può suddividere innanzitutto nel sottoinsieme T dei trapezi (se hanno due lati opposti paralleli) e nel sottoinsieme dei non trapezi (se non hanno lati paralleli)
L’insieme T dei trapezi  poi si può suddividere nel sottoinsieme P dei parallelogrammi (se hanno le due coppie di lati opposti paralleli e congruenti) e nel sottoinsieme dei trapezi non parallelogrammi (una sola coppia di lati opposti paralleli).
L’insieme P dei parallelogrammi a sua volta può essere suddiviso nel sottoinsieme Re dei rettangoli (parallelogrammi con i quattro angoli retti), nel sottoinsieme Ro dei rombi (parallelogrammi con tutti e quattro i lati congruenti) e nel sottoinsieme Qu dei quadrati. Quest’ultimo costituisce l’intersezione del sottoinsieme dei rettangoli con il sottoinsieme dei rombi perché possiede le caratteristiche di entrambi: 4 angoli retti come i rettangoli e 4 lati congruenti come i rombi.

ESERCIZI

·    Che cos’è un quadrilatero?
·    Qual è la misura della somma degli angoli interni di un quadrilatero?
·    Qual è la misura della somma degli angoli esterni di un quadrilatero?
·    Quante diagonali in tutto possiamo tracciare in un quadrilatero? Quante diagonali partono da ciascun vertice?
·    Stabilisci con quali di queste lunghezze, riferite a 4 segmenti, è possibile costruire un quadrilatero.
a.       3, 6, 8, 13;
b.      6, 8, 10, 28;
c.       11, 9, 6, 17;
d.      11, 16, 10, 39;
·    In un quadrilatero gli angoli possono essere tutti e 4 acuti? Tutti e 4 retti? Tutti e 4 ottusi? Giustifica la tua risposta.
·    Stabilisci con quali di queste ampiezze, relative a 4 angoli, si potrà avere un quadrilatero.
a.       90, 120, 110, 50
b.      80, 120, 79, 81
c.       75, 130, 56, 90
d.      150, 88, 31, 100

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno i lati opposti a due a due paralleli?
a.       Trapezio isoscele
b.      Romboide
c.       Rombo
d.      Quadrato
e.       Rettangolo
·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno i lati opposti a due a due congruenti?
a.       Trapezio isoscele
b.      Romboide
c.       Rombo
d.      Quadrato
e.       Rettangolo

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno 4 angoli retti?
a.       Trapezio rettangolo
b.      Trapezio isoscele
c.       Romboide
d.      Rombo
e.       Quadrato
f.        Rettangolo

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno 4 lati congruenti?
a.       Trapezio scaleno
b.      Trapezio isoscele
c.       Romboide
d.      Rombo
e.       Quadrato
f.        Rettangolo

·    Nel quadrilatero raffigurato abbiamo:
p = 40 cm
AB = CD + 1 cm
BC = CD + 2 cm
AD = CD + 5 cm
a = b - 3°
d = 115°
y = 72°
Calcola la misura di ogni lato e l’ampiezza degli angoli a e b
  

Metodi di risoluzione dei problemi: il metodo grafico


Ci sono delle fasi imprescindibili nella risoluzione di un problema di tipo matematico: la lettura e l’analisi del testo, l’individuazione dei dati conosciuti e delle incognite, la scelta delle tecniche risolutive.
Ed è proprio la fase risolutiva che ci permette la possibilità di usare diverse strategie e tecniche, a seconda della natura del problema. Oggi analizzeremo una di queste tecniche: il metodo di risoluzione grafico. Si tratta di rappresentare graficamente i dati conosciuti, in modo da far emergere visivamente le relazioni tra di essi e scoprire più facilmente la soluzione.
Vediamo alcuni esempi della sua applicazione.

Su una spiaggia ci sono 130 ombrelloni in tutto;  gli ombrelloni aperti sono 26 in più di quelli chiusi. Quanti sono gli ombrelloni aperti e quanti quelli chiusi sulla spiaggia?

Indichiamo gli ombrelloni aperti con a e quelli chiusi con c.
DATI
a + c = 130
a = c + 26

INCOGNITE
? a
? c

RISOLUZIONE
Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma del segmento AB e quella del segmento CD è 130.
La differenza fra i due segmenti è 26.
Togliendo dalla somma 130 la differenza 26, troviamo il doppio degli ombrelloni chiusi, per cui sarà sufficiente dividere per 2 per trovare il numero degli ombrelloni chiusi. A questi basterà aggiungere 26 e troveremo il numero degli ombrelloni aperti.

130 – 26 = 104 doppio degli ombrelloni chiusi
104 : 2 = 52 numero degli ombrelloni chiusi
52 + 26 = 78 numero ombrelloni aperti

La signora Anna al supermercato ha comprato pesce, pane e verdura spendendo in tutto € 17,90.
Il pesce è costato € 10,83 più della verdura, la verdura € 0,16 più del pane. Quanto ha speso Anna per il pesce, il pane e la verdura?

Indichiamo il pesce con p, il pane con a e la verdura con v.
DATI
p + a + v = 17,90
p = v + 10,83
v = a + 0,16
INCOGNITE
? p
? a
? v

RISOLUZIONE
Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma dei tre segmenti è 17,90.
Togliendo dalla somma 17,90 prima 10,83 e poi 2 volte 0,16 troviamo il triplo del segmento EF, cioè del pane. Sarà ora sufficiente dividere per 3 per trovare il costo del pane. A questo basterà aggiungere 0,16 e troveremo il costo della verdura ed infine, aggiungendo a quest’ultimo valore 10,83 troveremo il costo del pesce.

17,90 – (10,83 + 0,16 x 2) = 17, 90 – (10,83 + 0,32) = 17,90 – 11,15 = 6,75 triplo del costo del pane
6,75 : 3 = 2,25 costo del pane
2,25 + 0,16 = 2,41 costo della verdura
2,41 + 10,83 = 13,24 costo del pesce

Prima di partire per una gita scolastica il professore sul pullman conta i partecipanti, che risultano essere: 50 tra alunni della IA e IB, 31 tra alunni della IA ed insegnanti e 29 tra alunni della IB ed insegnanti. Quanti sono gli insegnanti, gli alunni della IA e della IB che partecipano alla gita?

Indichiamo con A gli alunni della IA, con B gli alunni della IB e con I gli insegnanti
DATI
A + B = 50
A + I = 31
B + I = 29
INCOGNITE
? A
? B
? I
RISOLUZIONE
Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Dall’esame grafico della situazione ci accorgiamo che sommando 50, 31 e 29 otteniamo il doppio dei partecipanti alla gita: infatti sia gli alunni di IA, sia gli alunni di IB, sia gli insegnanti sono presenti due volte. Dividendo quindi per 2 il totale della somma troveremo il numero reale dei partecipanti, da cui ricavare successivamente le altre incognite.

50 + 31 + 29 = 110
110 : 2 = 55 numero dei partecipanti alla gita
55 – 50 = 5 numero degli insegnanti
55 – 31 = 24 numero alunni IB
55 – 29 = 26 numero alunni IA

ESERCIZI

·    La somma di due numeri è 28 e la loro differenza è 12. Quali sono i due numeri?
·    In una cassetta vi sono mele e pere per un numero complessivo di 65 frutti; le mele sono 19 in più delle pere. Calcola il numero delle mele e delle pere.
·    Ad una gara podistica partecipano complessivamente 280 atleti fra uomini, donne e ragazzi. Le donne sono 20 in più dei ragazzi e gli uomini 60 in più delle donne. Calcola il numero degli uomini, delle donne e dei ragazzi che partecipano alla gita.
·    Marco, Luigi e Alice sono 3 fratelli. Marco e Luigi hanno complessivamente 57 anni; Marco ed Alice 46, Luigi ed Alice 41. Qual è l’età di ognuno dei tre fratelli?

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca