Potenze con i numeri relativi

Ricordiamo che l’elevamento a potenza è quella operazione in cui moltiplichiamo la base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.

Esaminiamo alcuni esempi con i numeri relativi:

(+ 5)² = (+5) ^. (+5) = +25

(+3)³ = (+3) ^. (+3) ^. (+3) =  (+ 9) ^. (+3) = +27

(-2)⁴ = (-2) ^. (-2) ^. (-2) ^. (-2) =  (+4) ^. (-2) ^. (-2) =  (-8) ^. (-2) = +16

(-6)⁵ = (-6) ^. (-6) ^. (-6) ^. (-6) ^. (-6) = (+36) ^. (-6) ^. (-6) ^. (-6) = (- 216) ^. (-6) ^. (-6) = (+1296) ^. (-6) = (- 7776)

Possiamo osservare come il risultato di potenze che hanno per base un numero relativo sia un altro numero relativo ottenuto moltiplicando il valore assoluto della base per se stesso tante volte quante indicate dall'esponente e sempre con segno positivo tranne il caso in cui la base è negativa e l’esponente è dispari.

Anche con i numeri relativi, le potenze mantengono le loro proprietà

·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti

Es.: 

 

·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.

Es.:

·    Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
Es.:

(+ 5) ⁴ : (+ 5)² = (+ 5)^4-2 = (+ 5)² = 25

·    Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi.
Es.:

(+15)⁶ : (-3)⁶ = [(+15) : (-3)]⁶ = [-5]⁶ = 15625

·    Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti

 Es.:

·    La potenza di un numero relativo con esponente 1 è uguale al numero stesso

Es.:

 

·    La potenza di un qualunque numero relativo con esponente 0 è sempre uguale ad 1

Es.:

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Tutte le potenze considerate finora avevano esponente positivo. Come fare se una potenza, invece, ha esponente negativo?

Consideriamo, ad esempio,

(+8)^{- 3}

Facendo riferimento ad una delle proprietà precedentemente viste, possiamo considerare la potenza come quoziente della divisione (+8)³ : (+8)⁶

(+8)^{- 3} = (+8)³ : (+8)⁶

Proviamo a scrivere questa divisione sotto forma di frazione

Possiamo dunque affermare che la potenza di un numero relativo che ha esponente negativo è il reciproco della potenza data con esponente positivo opposto all'esponente dato. Vediamo qualche altro esempio:

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

Calcola e risolvi applicando le proprietà adatte

·    (+4)^{2 .} (+4)

·    (-2)^{3 .} (-2)²

·    (-6)⁵ : (-6)³

·    (+5)^{3 .} (+2)³

·    (- 15)³ : (+3)³

·    [( - 2)²]³

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