La connessione protetta (https) impedisce di vedere alcuni contenuti, come ad esempio i test on line. Per chi volesse visualizzarli in Chrome occorre cliccare sullo scudo che si vede in alto a destra e poi su "Carica script non sicuro"; in Internet Explorer 11 fare clic su "Mostra tutto il contenuto" nella barra che appare in basso nello schermo.

Rotazioni e traslazioni


Dopo aver esaminato la congruenza, vediamo un altro movimento rigido, la traslazione.
Quella che vedi sopra è una traslazione.
Nel linguaggio matematico il termine “traslazione” significa un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) in cui le traiettorie descritte da ciascuno dei punti che lo compongono sono uguali e parallele.
Puoi verificare nella figura sopra che le linee tratteggiate che descrivono lo spostamento dei punti al vertice risultano essere tra loro parallele e della stessa lunghezza.

Per individuare una traslazione occorre sapere la lunghezza (o modulo), la direzione ed il verso della stessa.
A tal fine si usa il vettore, cioè un segmento con una lunghezza definita (detta anche modulo), una direzione data dalla retta a cui appartiene ed un verso indicato dalla punta della freccia.
Ecco, ad esempio, il vettore della traslazione raffigurata sopra.
E’ evidente che due figure ottenute per traslazione sono direttamente congruenti.


Un altro movimento rigido è la rotazione.
Immaginiamo di avere un punto A qualsiasi e di sottoporlo ad una rotazione.
Ci serve un punto fisso, che chiameremo O, sul quale puntiamo il compasso che avrà un’apertura uguale alla lunghezza del segmento OA

Per sapere quale dovrà essere l’ampiezza e il verso della rotazione ci serve un angolo orientato che ci indichi l’ampiezza (o modulo) ed il verso orario o antiorario. Immaginiamo di voler ruotare il punto A secondo l’angolo orientato 
Ricordiamo che l’angolo orientato si indica diversamente a seconda che il verso della rotazione sia orario o antiorario. 

Riepilogando: abbiamo il compasso puntato in O con apertura uguale al segmento OA, ruotiamo il compasso in verso orario descrivendo un arco di 50°. Il punto A’ all’estremità dell’arco è il corrispondente di A.
Nel linguaggio matematico il termine “rotazione” indica un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) individuato da un centro di rotazione (il punto fisso O) e da un angolo orientato che indica l’ampiezza ed il verso di spostamento.
Proviamo ora ad effettuare una rotazione, individuata dal punto fisso O, di un triangolo ABC secondo l’angolo orientato 
Sarà sufficiente effettuare la rotazione dei vertici A, B, C secondo la modalità già descritta in modo da trovare i corrispondenti A’, B’, C’.


ESERCIZI

·   Come sono due figure ottenute per traslazione?
·  Che cos’è una rotazione?
·  Come puoi spiegare il concetto di angolo orientato?
·   Disegna le figure A’ e A’’ ottenute (sempre partendo da A) con le traslazioni individuate dai due vettori indicati. 
·     Disegna le figure B’, B’’, B’’’ ottenute con le traslazioni individuate dai tre vettori indicati, applicandole successivamente ad ogni figura ottenuta. 

·     Qual è il vettore che individua la seguente traslazione? 

·     Quali sono i due vettori che individuano le seguenti traslazioni successive? 

·     Data la figura disegnata, effettua la rotazione di centro O e dell’ampiezza indicata 

Le frazioni


Sappiamo già che frazionare significa suddividere in parti uguali un intero che può essere costituito da una quantità continua o discontinua. 
Consideriamo un rettangolo intero e dividiamolo in 6 parti uguali.
Ognuna delle parti costituisce “un sesto” del rettangolo che indichiamo1/6
Vediamo ora un cerchio intero suddiviso in 4 parti uguali.
Ogni parte rappresenta “un quarto” e si indica 1/4
Poiché queste frazioni rappresentano una ed una sola delle parti in cui abbiamo diviso la grandezza intera, diremo che 1/6 e 1/4 sono unità frazionarie.
 Le unità frazionarie indicano quindi una sola delle parti in cui è diviso un intero.

Guardiamo ora questa figura
Vediamo che abbiamo considerato 4 volte l’unità frazionaria 1/6
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6

Se invece osserviamo quest’altra figura
vediamo che abbiamo considerato 3 volte l’unità frazionaria ¼
¼ + ¼ + ¼  = ¾

4/6, ¾ sono frazioni
La frazione è quindi un operatore che divide un intero in parti uguali e ne considera alcune di esse.

Possiamo classificare le frazioni in: proprie, improprie, apparenti.
Guardiamo questo esempio
La frazione 3/5 rappresenta la parte colorata del rettangolo. Si tratta di una parte minore dell’intero.


La frazione 5/8 rappresenta la parte colorata dell’intero. Si tratta di una parte minore dell’intero.
3/5 e 5/8 sono frazioni proprie.
Una frazione è propria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza minore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni proprie perché il numeratore è minore del denominatore.

Osserviamo ora questi esempi
La frazione 7/5 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del rettangolo intero.
La frazione 5/4 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del cerchio intero.
7/5 e 5/4 sono frazioni improprie.
Una frazione è impropria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza maggiore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni improprie perché il numeratore è maggiore (ma non multiplo) del denominatore.

Consideriamo ora quest’altro esempio
La frazione 5/5 rappresenta la parte colorata e corrisponde all’intero.
La frazione 12/4 rappresenta la parte colorata e corrisponde a 3 interi.
5/5 e 12/4 sono frazioni apparenti.
Una frazione è apparente quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza congruente o multipla di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni apparenti perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.


Abbiamo operato su una grandezza intera ed abbiamo ottenuto la frazione che rappresenta la parte colorata: 4/9
Abbiamo operato sulla stessa grandezza ed abbiamo ottenuto un’altra frazione che rappresenta la parte colorata: 5/9

Se consideriamo la somma delle due grandezze ottenute otteniamo una grandezza che è congruente alla grandezza di partenza. Infatti: 4/9 + 5/9 = 9/9
4/9 e 5/9 sono frazioni complementari.
Due frazioni sono complementari quando, operando con esse su una grandezza, otteniamo due grandezze la cui somma è congruente alla grandezza di partenza.

ESERCIZI

·     Completa la seguente tabella
Frazioni
Numeratore
Denominatore
Unità frazionaria
N° delle unità frazionarie considerate
4/5





5
7


6/13




3/7





4
9


·     Quale unità frazionaria rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quale frazione rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quando possiamo dire che due frazioni sono complementari?
·     Fra le seguenti coppie di frazioni cerchia quelle complementari
3/8 e 5/8;  5/10 e 4/10; 3/11 e 8/11; 2/9 e 5/9; 8/10 e 6/10; 3/7 e 4/7; 1/10 e 9/10; 13/20 e 7 /20
·     Quando possiamo dire che una frazione è propria?
·     Quando possiamo dire che una frazione è impropria?
·     Quando possiamo dire che una frazione è apparente?
·     Considera l’insieme:





e scrivi per elencazione i seguenti sottoinsiemi:
B = {x/x Î A ed è frazione propria}
C = {x/x Î A ed è frazione impropria}
D = {x/x Î A ed è frazione apparente}


Le relazioni


Consideriamo due insiemi:
A = {x/x è una città europea}
B = {x/x è uno stato europeo}

Possiamo stabilire una corrispondenza tra i due insiemi utilizzando una proprietà che permetta di associare gli elementi di A con quelli di B.
In questo caso la proprietà è “ è una città che appartiene allo Stato”.
La proprietà della corrispondenza si chiama relazione e viene indicata con il simbolo R.
Possiamo quindi dire che la relazione R. tra due insiemi è la proprietà che mette in corrispondenza gli elementi dei due insiemi.
Se a Î A e b Î B ed a e b sono in corrispondenza secondo la relazione R  possiamo dire che a R  b.

Se noi consideriamo un solo insieme invece dei due dell’esempio precedente, le caratteristiche che abbiamo individuato sono ancora valide.
Consideriamo l’insieme:
A = {Genova, Torino, Milano, Bologna, Venezia, Udine, Trento}
e stabiliamo la relazione
R:  “…. ha lo stesso numero di lettere di …”
Rappresentiamo graficamente la relazione in una tabella  a doppia entrata

Genova
Torino
Milano
Bologna
Venezia
Udine
Trento
Genova
X
X
X



X
Torino
X
X
X



X
Milano
X
X
X



X
Bologna



X
X


Venezia



X
X


Udine





X

Trento
X
X
X



X

Abbiamo quindi stabilito queste corrispondenze:
Genova R. Genova
Genova R. Torino
Genova R. Milano
Genova R. Trento
Torino R. Genova
Torino R. Torino
Torino R. Milano
Torino R. Trento
Milano R. Genova
Milano R. Torino
Milano R. Milano
Milano R. Trento
Bologna R. Bologna
Bologna R. Venezia
Venezia R. Bologna
Venezia R. Venezia
Udine R. Udine
Trento R. Genova
Trento R. Torino
Trento R. Milano
Trento R. Trento
Possiamo usare anche i diagrammi di Eulero-Venn per la rappresentazione sagittale

Possiamo quindi dire che la relazione R. in un insieme A è la proprietà che mette in corrispondenza gli elementi di A con gli elementi di A.

La relazione  R.   in un insieme può godere di alcune proprietà, tra cui:
·        La proprietà riflessiva
Se consideriamo l’insieme A = {leone, tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che ogni elemento è in relazione con se stesso perché leone inizia con la stessa lettera di leone, tigre inizia con la stessa lettera di tigre, ecc.
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà riflessiva quando ogni elemento di A è in relazione con se stesso
a R.  a     " a Î A

·        La proprietà simmetrica
Se consideriamo sempre l’insieme A = {leone, tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che se
leone R.  lupo è vero anche che lupo R.  leone perché se “leone” inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di “lupo” anche “lupo” inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di “leone”
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà simmetrica quando, se un elemento a R.  b è vero anche b R a
Se a R.  b Þ b R a      " a, b Î A

·        La proprietà transitiva
Se consideriamo un insieme A = {Paolo, Luigi, Marco, Ugo, Mario} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. ha lo stesso numero di scarpe di ….” vediamo che se Paolo R.  Marco e Marco R.  Ugo possiamo dire anche che Paolo R.  Ugo perché se Paolo ha lo stesso numero di scarpe di Marco e Marco ha lo stesso numero di scarpe di Ugo, anche Paolo avrà lo stesso numero di scarpe di Ugo.
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà transitiva quando, considerando tre elementi qualsiasi a, b, c Î A se a R.  b e b R.  c è vero anche a R c
Se a R.  b e  b R c  Þ a R c   " a, b, c Î A

ESERCIZI

·        Quale proprietà indica questa scrittura: se a R.  b Þ b R a   " a, b Î A?
·        Quale proprietà indica questa scrittura: a R.  a           " a Î A?
·        Quale proprietà indica questa scrittura: se a R.  b e  b R c  Þ a R c " a, b, c Î A?
·        Dati due insiemi:
A = {d; e; f; g}
B = {erba, fiore, dado, gatto, edera, geranio}
sono vere le seguenti scritture:











Individua la relazione R.   
·        Dati due insiemi:
A = {Lisbona, Madrid, Siviglia, Parigi, Lione, Roma, Milano}
B = {Portogallo, Spagna, Francia, Italia}
sono vere le seguenti scritture:










Individua la relazione R.   

·        Consideriamo l’insieme A
A = {mare, luce, macina, remo, lumaca, lunedì, resa}
Nell’insieme A stabiliamo la relazione
R.      = “….inizia con la stessa sillaba di ……”
Rappresenta questa relazione con una tabella a doppia entrata


·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà riflessiva?
·        “ …. è più basso di …….”
·        “ …. è la nonna di …….”
·        “ …. ha la stessa età di …….”
·        “ …. abita nella stessa regione di …….”
·        “ …. è il padre di …….”

·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà simmetrica?
·        “ …. è più vecchio di …….”
·        “ …. è il figlio di …….”
·        “ …. è nato nello stesso anno di …….”
·        “ …. abita nella stessa città di …….”
·        “ …. è più alto di …….”


·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà transitiva?
·        “ …. è più giovane di …….”
·        “ …. è la figlia di …….”
·        “ …. è nato nello stesso mese di …….”
·        “ …. abita nella stessa città di …….”
·        “ …. è la metà di …….”





Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca