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Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini


Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  ed operiamo con queste frazioni sulla medesima grandezza, questa:
Otteniamo:


Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale, abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre casi.
Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  sono equivalenti e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.

Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?
Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che

Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette alcuni utilizzi molto importanti.
Ad esempio permette di semplificare una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è più semplice operare.
Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.
Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi modi.
Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra loro.
Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27; 20/7; 25/20

Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere una frazione equivalente ed irriducibile.

Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.

Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile.
Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.
Vediamo un esempio:
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126

48
2
24
2
12
2
6
2
3
3
1

126
2
63
3
21
3
7
7
1








48 = 24 x 3                  126 = 2 x 32 x 7
M.C.D. = 2 x 3 = 6


Un altro esempio
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150

45
3
15
3
5
5
1

150
2
75
3
25
5
5
5
1








45 = 32 x 5                  150 = 2 x 3 x 52
M.C.D. = 3 x 5 = 15


ESERCIZI

·     Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?
·     Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile?
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti
2/3; 6/7; 4/6; 3/2; 6/8; 6/9; 12/18; 18/21;
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili
20/30; 5/3; 4/8; 7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22
·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili
12/18; 6/5; 3/14; 9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24
·     Completa le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro

·     Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
34/126; 66/77; 15/50; 27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200


I monomi


Osserviamo queste espressioni letterali:

Notiamo che sono formate da un numero e da alcune lettere.
Notiamo anche che in queste espressioni letterali non c’è alcuna addizione algebrica, lettere e numeri sono legati solo da moltiplicazioni o divisioni.
Si tratta quindi di monomi, intendendo per monomio un’espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni.

+ 5ab2c è un monomio

3abc + 4ab non è un monomio

In ogni monomio quindi abbiamo una parte numerica che si dice “coefficiente del monomio” ed una “parte letterale”

Da notare che se manca il coefficiente, deve intendersi sottinteso il coefficiente + 1 o -1
+ abc sottintende il coefficiente + 1
a2bc sottintende il coefficiente + 1
- abc2 sottintende il coefficiente – 1

Due monomi sono uguali quando hanno uguale sia il coefficiente che la parte letterale.
Due monomi sono simili se hanno un diverso coefficiente ma uguale parte letterale.
Due monomi sono opposti se sono simili ed hanno quindi la stessa parte letterale, ma coefficiente opposto.

Un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.
Il grado del monomio rispetto ad una lettera corrisponde all’esponente con cui quella lettera è presente nel monomio
Il grado del monomio rispetto alla lettera a è 2
Il grado del monomio rispetto alla lettera b è 1
Il grado del monomio rispetto alla lettera c è 3

Il grado complessivo del monomio o grado del monomio corrisponde alla somma degli esponenti delle lettere presenti nel monomio
Il grado del monomio è 2 + 1 + 3 = 6

ESERCIZI

·     Che cos’è un monomio?
·     Definisci i monomi uguali, simili ed opposti e fai un esempio per ciascun tipo
·     Cerchia i monomi


·     In ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente e la parte letterale



·     Per ogni monomio indica il grado rispetto a ciascuna lettera



·     Per ogni monomio dell’esercizio precedente indica il grado complessivo


 ·     Scrivi un monomio uguale al seguente

·     Scrivi due monomi simili ad ognuno dei seguenti monomi
 ·     Scrivi il monomio opposto a ciascuno dei seguenti monomi

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

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Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

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Luigi

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca