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L’insieme dei numeri razionali


Sappiamo già che possiamo considerare la frazione come operatore, in quanto ci permette di operare su di una grandezza.
Ora consideriamo invece la frazione come quoziente tra due numeri, il numeratore ed il denominatore.
2/5 = 2 : 5

Consideriamo per un momento i numeri naturali e scopriremo che qualunque numero naturale si può scrivere sotto forma di frazione.
Cominciamo dallo “0”: si può scrivere come una frazione avente “0” al numeratore. Infatti:
0/4 = 0 : 4 = 0
0/6 = 0 : 6 = 0
Passiamo al numero 1: si può indicare con una frazione apparente con numeratore uguale al denominatore
3/3 = 3 : 3 = 1
5/5 = 5 : 5 = 1
Tutti gli altri numeri naturali si possono scrivere con una frazione con denominatore 1
10/1 = 10 : 1 = 10
7/1 = 7 : 1 = 7
oppure
con una frazione avente al numeratore un multiplo del denominatore. Ad esempio se io volessi scrivere il numero 15 sotto forma di frazione potrei scrivere così: 15/1, 30/2, 45/3, ecc

Considerando la frazione come quoziente tra due numeri, possiamo quindi stabilire un nuovo insieme che includerà tutte le frazioni. Chiameremo questo insieme come insieme Q+.
Da quanto detto sopra possiamo facilmente capire come l’insieme dei numeri naturali N sia un sottoinsieme dell’insieme Q+ ed indicheremo questa relazione così: N Ì Q+.
Sappiamo già che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

Consideriamo la classe di equivalenza sopra descritta: se calcoliamo il valore numerico di frazioni che appartengono ad una stessa classe di equivalenza ci accorgiamo che il risultato è sempre uguale.
3/5 = 3 : 5 = 0,6
6/10 = 6 : 10 = 0,6
9/15 = 9 : 15 = 0,6
12/20 = 12 : 20 = 0,6
Possiamo allora rappresentare tutta la classe con una sola frazione della classe, quella irriducibile.
L’insieme di tutte le classi di equivalenza è l’insieme Q+ che viene chiamato insieme dei numeri razionali, che, come abbiamo visto include anche l’insieme N dei numeri naturali. Possiamo sintetizzare con il diagramma di Eulero Venn


Proviamo ora a rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata
Immaginiamo di voler rappresentare il numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..}
Consideriamo la frazione che rappresenta la classe di equivalenza 1/3 ed operiamo dividendo l’unità di misura in 3 parti e considerandone 1. Il punto T è l’immagine del numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..} mentre il punto T’ è l’immagine del numero razionale {8/3; 16/6; 24/9; 32/12; …..}
Vediamo un altro esempio


ESERCIZI

·    L’insieme dei numeri razionali forma un nuovo insieme numerico, detto ……………………………
·    L’insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme di questo nuovo insieme?
·    In quale modo la frazione 4/5 può essere considerata come il quoziente tra due numeri?
·    Prova a scrivere sotto forma di frazioni i numeri:
­     2, 7, 15, 19
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 2/5. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 5/4. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 3/1. Il numero che hai scritto è uguale a quale numero naturale?
·    Scrivi alcuni numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni
5/8 = {……………………..………}
7/5 = {……………………..………}
2/3 = {……………………..………}
7/1 = {……………………..………}


Operazioni con monomi: le addizioni algebriche


Vediamo le operazioni che si possono eseguire con i monomi, cominciando dall’addizione algebrica e vedendo quali casi sono possibili:
  • Se i monomi sono opposti la loro somma algebrica è zero.
  • Se i monomi non sono simili non si eseguono i calcoli ma si lascia indicata la somma algebrica
+3 ab3 – 5a2b + ab                  si lascia indicata la somma algebrica senza eseguire calcoli

  • Se i monomi sono tutti  simili la loro somma algebrica è un monomio simile a quelli dati con coefficiente corrispondente alla somma algebrica dei coefficienti.

   
  • Se i monomi sono simili a gruppi si calcola la somma algebrica di ogni gruppo



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La simmetria assiale


La simmetria assiale è una trasformazione geometrica originata da un ribaltamento di asse a. Questo asse è detto asse di simmetria. Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti.

Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C, …. dall’asse a sia uguale alla rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.
Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.

Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure corrispondenti in una simmetria assiale:
·     l’asse di simmetria è esterno alla figura, come abbiamo visto nell’esempio sopra.
·     L’asse di simmetria è interno alla figura 
Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni poligoni

Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä

Vediamo il caso A
Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse f.
I due assi a e f sono tra loro paralleli.
Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’ ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore  
Vediamo il caso B

Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse b.
I due assi a e b sono tra loro incidenti e si intersecano nel punto O.
Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’ ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una traslazione, bensì di una rotazione che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due assi.

Vediamo il caso C

Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2 di asse c.
I due assi a e c sono tra loro incidenti e perpendicolari e si intersecano nel punto O.
Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta simmetria centrale.
Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento HH’’.
E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.

Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S1 ed S2, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.
I casi possono essere questi:
·    Se i due assi di simmetria sono paralleli, il loro prodotto è una traslazione. Indichiamo così: S1 Ä S2 = T (caso A)
·    Se i due assi di simmetria sono incidenti, il loro prodotto è una rotazione. Indichiamo così: S1 Ä S2 = R (caso B)
·    Se i due assi di simmetria sono incidenti e perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S1 Ä S2 = Sc (caso C)

ESERCIZI

·     Che cos’è una simmetria assiale?
·     Come sono due figure ottenute per simmetria assiale?
·     Indica se VERO o FALSO
­       Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai una simmetria assiale
­       Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria assiale
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una traslazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è una rotazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti è una rotazione
­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una simmetria centrale


·     Disegna le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali? 



Commenti (da Net Parade e da Facebook)

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