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Area del cerchio e delle sue parti




Nell’immagine si vedono alcuni cerchi in cui sono stati inscritti dei poligoni regolari con un numero crescente di lati (7, 9 12 rispettivamente): notiamo che aumentando il numero dei lati del poligono, il perimetro di questo tende sempre più a coincidere con la circonferenza mentre la lunghezza dell’apotema tende sempre più ad essere congruente a quella del raggio.
E’ chiaro quindi che immaginando un poligono con sempre più lati, anzi con infiniti lati, il suo perimetro andrà a coincidere con la circonferenza, l’apotema sarà congruente al raggio e quindi l’area del poligono sarà uguale all’area del cerchio.
L’area del poligono si calcola con la formula 












Dovendo risolvere problemi sul calcolo dell’area della superficie di un cerchio  potremo approssimare π a 3,14 oppure lasciare indicato il simbolo π.

Area del settore circolare
C’è una formula che permette di calcolare l’area di un settore circolare: indichiamo con l la lunghezza dell’arco che limita il settore circolare, con r il raggio della circonferenza. 

 









Si può procedere anche diversamente. Notiamo dall’immagine sopra che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio ed osserviamo anche che l’angolo al centro e l’area del rispettivo settore circolare sono grandezze direttamente proporzionali. Potremo dunque dire che:
As : Ac = α° : 360°

Area del segmento circolare
Sappiamo che una qualsiasi corda appartenente ad un cerchio permette di ottenere due segmenti circolari, uno minore della semicirconferenza (fig. 1) ed uno maggiore della semicirconferenza (fig 2).



Nel primo caso l’area del segmento circolare si otterrà sottraendo dall’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza l’area del triangolo ABO (fig 1 bis); nel secondo caso l’area si otterrà invece sommando all’area del settore circolare corrispondente l’area del triangolo ABO (fig 2 bis).

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si otterrà sottraendo dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore. Quindi: π R2 - π r2

ESERCIZI

·      Due cerchi hanno l’area rispettivamente di 615,44 cm2 e di 379,94 cm2. Calcola l’area di un terzo cerchio con il raggio congruente alla differenza dei raggi dei due cerchi dati.

·      L’area di un settore circolare è di 314 cm2 e il diametro del cerchio a cui appartiene misura 24 cm. Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Un settore circolare è limitato da un arco lungo 62 cm e appartiene ad un cerchio con l’area di 3364 π cm2. Calcola l’area del settore.

·      In un cerchio un settore circolare ha l’area di 32 π cm2 ed è limitato da un arco lungo 12,56 cm. Calcola l’area del cerchio.

·      Sapendo che un settore circolare ha l’area di 28,26 cm2 e il raggio del cerchio a cui appartiene misura 6 cm, calcola:

a.      La lunghezza dell’arco che delimita il settore.

b.      L’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 90° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 24 cm.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 270° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 30 cm.

·      Una corona circolare è limitata da due circonferenze aventi i rispettivi raggi lunghi 25 e 15 cm. Calcola l’area della corona circolare.

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Problemi di ripartizione



Esaminiamo questa situazione.
Un segmento lungo 240 cm viene diviso in tre parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 5 e 6. Qual è la lunghezza delle tre parti?
Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti direttamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice diretta.
Chiamiamo x, y, z le lunghezze delle tre parti in cui deve essere diviso il segmento; sappiamo poi che queste lunghezze devono essere direttamente proporzionali rispettivamente ai numeri 4, 5 e 6.
Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti:
x : 4 = y : 5 = z : 6
A questa catena si può applicare la proprietà del comporre: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti  come ogni antecedente sta al proprio conseguente. Quindi:
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = x : 4
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = y : 5
(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = z : 6
da cui otteniamo
240 : 15 = x : 4
240 : 15 = y : 5
240 : 15 = z : 6
Risolviamo le tre proporzioni e scopriremo la lunghezza delle tre parti.











La lunghezza delle tre parti è di 64 cm, 80 cm, 96 cm.

Vediamo ora quest’altra situazione.
In una gara podistica in montagna vengono premiati i primi tre arrivati. L’ammontare totale del premio è di € 1 500 che sarà assegnato in modo inversamente proporzionale al tempo impiegato, che è stato rispettivamente di 55, 50 e 45 minuti. Quale sarà il premio spettante a ciascun podista?
Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice inversa.
Chiamiamo x, y, z l’ammontare dei tre premi; sappiamo poi che questo ammontare deve essere inversamente proporzionale ai tempi 45m, 50m, 55 m.
Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti: 


 




























L’ammontare dei tre premi sarà di € 451,50, € 496,66 ed € 551,84

ESERCIZI

·      Un angolo giro deve essere diviso in tre angoli con le ampiezze direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5. Qual è l’ampiezza di ciascun angolo?

·      Un angolo piatto viene diviso in 4 parti inversamente proporzionali a 3/5, 5/4, 3/2 e 5. Calcola l’ampiezza di ciascuna parte.

·      In un piccolo condominio di quattro appartamenti occorre affrontare una spesa straordinaria di 24 000 euro che sarà ripartita in ragione diretta alla superficie di ogni appartamento. Se la superficie degli appartamenti è di 100 m2, 70 m2, 120 m2 e 110 m2 quanto dovrà pagare ogni proprietario?

·      Tre Comuni devono effettuare un lavoro di manutenzione straordinaria su una galleria che si trova nella strada che collega i suddetti comuni. La somma preventivata è di 196000 euro. Si decide di suddividere la somma dovuta dai Comuni in parti inversamente proporzionali alle distanze dei Comuni dalla galleria. Conoscendo che le distanze sono rispettivamente 5 km, 8 km, 12 km, quale sarà la spesa di ciascun Comune?

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Problemi del tre composto



Consideriamo una situazione problematica di questo tipo.
Per riscaldare 30 camere di un ospedale per 10 giorni sono stati consumati 90 quintali di gasolio. Quanti quintali di gasolio si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?
Vediamo come in questo caso la grandezza incognita non dipende solo da un’altra grandezza, dipende da più grandezze. I problemi di questo tipo si chiamano problemi del tre composto perché possiamo considerarli composti da due o più problemi del tre semplice.
Mettiamo i dati in una tabella:
n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
30
10
90
25
18
x

Suddividiamo il problema in due problemi del tre semplice, considerando solo due grandezze variabili e mantenendo costante la terza.
Se manteniamo costanti i giorni, avremo
n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
30
10
90
25
10
x

Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.












75 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 10 giorni.
Manteniamo ora costante il numero delle camere. E’ come se il nostro problema fosse diventato: “Per riscaldare 25 camere per 10 giorni si consumano 75 quintali di gasolio. Quanti quintali si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?”. Avremo dunque:



n° camere
n° giorni
quintali di gasolio
25
10
75
25
18
x
Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

 












135 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 18 giorni.

C’è però la possibilità di usare un procedimento più veloce.

Ripartiamo dalla tabella iniziale e disegniamo una freccia che va dalla x verso il valore conosciuto.










Stabiliamo poi se ogni grandezza è direttamente o inversamente proporzionale rispetto alla grandezza con l’incognita (nel nostro esempio sia la grandezza “n° camere” sia “n° giorni” sono direttamente proporzionali alla grandezza “quintali di gasolio”). Se le grandezze sono direttamente proporzionali disegniamo per ogni grandezza una freccia con lo stesso verso di quella già tracciata, se sono inversamente proporzionali disegniamo una freccia di verso opposto.
Potremo ora calcolare il valore di x moltiplicando il valore noto 90 per le altre grandezze seguendo il verso delle frecce.








Consideriamo questa situazione problematica
Un lingotto d’oro lungo 39 mm, largo 22 mm e spesso 1,3 mm pesa 21 grammi.
Un altro lingotto d’oro è lungo 45 mm, largo 25 mm e pesa 50 grammi. Qual è il suo spessore?

Mettiamo i dati in tabella e tracciamo una freccia dalla x al valore noto.


 

 











ESERCIZI

·      Un automobilista che viaggia 6 ore al giorno alla velocità media di 110 km/h impiega 4 giorni a compiere un certo percorso. Quanto tempo impiegherebbe a fare lo stesso percorso viaggiando 4 ore al giorno alla velocità di 120 km/h?

·      Una lastra di rame lunga 1,5 m , larga 1,2 m e spessa 2,5 mm pesa 40 kg. Quanto peserà un’altra lastra di rame lunga 2 m, larga 0,6 m e spessa 3 mm?

·      In un’azienda 40 operai lavorano 8 ore al giorno producendo 2500 kg di merce in 25 giorni. Quanti giorni impiegheranno 50 operai che lavorano 6 ore al giorno per produrre 3000 kg di merce?

·      Per riempire un piccolo bacino del volume di 180 m3 5 pompe di sollevamento impiegano 15 ore. Quante ore impiegheranno 8 pompe della stessa portata per riempire un bacino di 240 m3?

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Risoluzione di problemi mediante le equazioni


Vediamo ora di affrontare la soluzione di problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita.
Consideriamo questo problema.
Calcola un numero tale che la somma della sua metà con il suo triplo è uguale alla differenza fra se stesso e 15. Calcola il numero.
Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.
Occorre poi individuare l’incognita. 

















Vediamo un altro problema.

Marco, Luigi e Giorgio complessivamente hanno 27 anni. Giorgio ha 3 anni più di Marco e Luigi12 anni in meno di Giorgio. Qual è l’età dei tre ragazzi?
Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.
Occorre poi individuare l’incognita.
In questo problema l’incognita è l’età dei tre ragazzi quindi chiamiamo x l’età di uno di loro, per esempio Luigi. Allora l’età di Giorgio sarà x + 12, mentre l’età di Marco sarà x + 12 - 3.
Occorre poi tradurre il problema in equazione.
x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27
Dobbiamo ora risolvere l’equazione.
x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27
x + x + x = - 12 – 12 + 3 + 27
3 x = +6
x = 2 età di Luigi
2 + 12 = 14 età di Giorgio
14 – 3 = 11 età di Marco 


Analizziamo ora un terzo problema.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 20 cm e il cateto maggiore è i 4/3 del cateto minore. Calcola il perimetro del triangolo.
Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.
Occorre poi individuare l’incognita.

In questo problema possiamo considerare come incognita il cateto minore, che chiameremo quindi x.
  

















Naturalmente non possiamo avere una misura negativa, quindi consideriamo x = 12, perciò il cateto minore è lungo 12 cm.

Allora il cateto maggiore sarà  4/3 x 12 = 16 cm
E il perimetro sarà (20 + 16 + 12) cm = 48 cm


ESERCIZI

· La differenza fra un numero e 5 è uguale alla somma del suo doppio ed i suoi ¾ diminuita di 19. Calcola il numero.
· Calcola due numeri la cui somma è 21, conoscendo che la differenza tra i due numeri è 3.
· Un padre ha 38 anni ed il figlio 17. Fra quanti anni l’età del padre sarà il doppio di quella del figlio?
· In una cantina da una botte piena di vino si travasano prima 1/3 del contenuto e successivamente 56 litri; dopo queste operazioni la botte resta piena per i 2/5 della sua capacità. Qual è la capacità del recipiente?
· Il perimetro di un rettangolo è 162 cm e la base è i 3/5 dell’altezza. Calcola la misura della base, dell’altezza e la sua area.
· Un triangolo ha un angolo ampio 54°. Gli altri due angoli sono uno i 9/5 dell’altro. Calcolane l’ampiezza.
· In un rombo la differenza fra la lunghezza delle due diagonali misura 10 cm ed una diagonale è i ¾ dell’altra. Calcola il perimetro e l’area del rombo.
· In un triangolo isoscele l’altezza è i 2/3 della base. Calcola la sua area sapendo che il perimetro misura 176 cm. 

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Lunghezza della circonferenza e di un arco



Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla lunghezza della circonferenza.
Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento che potremo misurare senza difficoltà.


Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza diversa.


Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.
Il problema è la determinazione esatta del valore che segue la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore approssimato.
Le prime 100 cifre decimali di questo numero sono:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067…
e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14

Abbiamo visto che il rapporto quindi fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è sempre costante: 




per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro
 C = d  . 3,14 e conseguentemente













Vediamo una situazione problematica.
La lunghezza di una circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m







Esaminiamo queste altre due situazioni.
·      Una circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la formula C = π . 2r quindi
 C = (3,14 . 2 . 30) cm = 188,4 cm
Possiamo usare la soluzione con la costante π:


C = 2 . 30 . π = 60 π  cm


·      Calcola la misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.
             

 






Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:
L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60° l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.
Ricordando i problemi del tre semplice e chiamando l la lunghezza dell’arco possiamo dire che:












Vediamo un esempio.

Calcola la lunghezza di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm. (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.
Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 . 3,14 . 32) cm = 200,96 cm
Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco
360° : 45° = 200,96 : x




 Soluzione esatta

(2 . π. 32) cm = 64π cm circonferenza
360° : 45° = 64π : x


 




Un altro esempio
Un arco è lungo 12,88 m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 40° e che l = 12,88 m mentre ignoriamo C.
Riscriviamo la proporzione per trovare C.
360° : 40° = x : 12,88















ESERCIZI


  • La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.
  • La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)
  • Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di  30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14) 
  •  Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 

  • Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π). 
  •  Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).  
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca