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Proporzionalità diretta ed inversa

Consideriamo due grandezze, ad esempio il lato di un quadrato ed il perimetro dello stesso quadrato.
Chiamiamo x la grandezza variabile “lato di un quadrato” e chiamiamo y la grandezza variabile “perimetro del quadrato”.
Vediamo cosa può succedere:
lato del quadrato
(x)
Perimetro del quadrato
(y)
5 cm
20 cm
10 cm
40 cm
15 cm
60 cm
Ci accorgiamo che le due grandezze x ed y sono dipendenti perché dalla variazione della prima (x) consegue la variazione della seconda (y).
Vediamo anche che ad ogni valore della x corrisponde uno ed un solo valore della y: diciamo dunque che le grandezze x (variabile indipendente) e y (variabile dipendente) stabiliscono una funzione y = f(x).

Torniamo alla tabella sopra: osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y: il loro rapporto resta dunque costante.

Infatti:






Possiamo affermare che la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono direttamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y.

Vediamo un altro esempio di grandezze direttamente proporzionali
Quantità di merce
(x)
Costo della merce
(y)
1 kg di farina
€ 0,80
2 kg di farina
€ 1,60
3 kg di farina
€ 2,40

Consideriamo ora le seguenti grandezze variabili x e y tali che y = f (x)

Velocità di una macchina
(x)
Tempo impiegato
(y)
50 km/h
90 minuti
100 km/h
45 minuti
150 km/h
30 minuti

Osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.
Osserviamo anche che il prodotto x . y resta costante.
Infatti:
50 . 90 = 100 . 45 = 150 . 30 = ….. = 4 500



Possiamo affermare che in questo caso la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono inversamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.

Vediamo un altro esempio di grandezze inversamente proporzionali
Numero addetti
(x)
Tempo impiegato in ore
(y)
1
6
2
3
3
2


Vediamo ora la rappresentazione della proporzionalità diretta ed inversa.
Consideriamo il primo esempio fatto di proporzionalità diretta.
lato del quadrato
(x)
Perimetro del quadrato
(y)
5 cm
20 cm
10 cm
40 cm
15 cm
60 cm

La funzione della proporzionalità diretta  y = f(x) è data dalla formula y = 4x
Il numero 4 è il rapporto costante k ed è quindi il coefficiente di proporzionalità diretta.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano:
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani.
Consideriamo ancora un esempio.



Compiliamo la tabella della funzione data
 (x)
 (y)
0
0
4
3
8
6

Tracciamo il diagramma corrispondente
Consideriamo ora il primo esempio fatto di proporzionalità inversa.
Velocità di una macchina
(x)
Tempo impiegato
(y)
50 km/h
90 minuti
100 km/h
45 minuti
150 km/h
30 minuti
La funzione della proporzionalità inversa  y = f(x) è data dalla formula xy = 4500
Il numero 4500 è il prodotto costante h ed è quindi il coefficiente di proporzionalità inversa.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano.
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una parte di curva detta iperbole equilatera.
Consideriamo ancora un esempio.



Compiliamo la tabella della funzione data
 (x)
 (y)
1
8
2
4
4
2
8
1

Tracciamo il diagramma corrispondente


ESERCIZI


·      Quando due grandezze si dicono direttamente proporzionali?
·      Quando due grandezze si dicono inversamente proporzionali?
·      Qual è la funzione che esprime la legge di proporzionalità diretta?
·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità diretta?
·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità inversa?
·      Osserva le seguenti funzioni, per ognuna completa la tabella e stabilisci se si tratta di funzioni di proporzionalità diretta o inversa.
















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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca