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Superficie e volume del parallelepipedo

Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo

Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari alle basi abbiamo un parallelepipedo retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 


Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo il parallelepipedo rettangolo. Le facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 


Misura della diagonale
In un parallelepipedo rettangolo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli uscenti dallo stesso vertice: di solito i primi due sono le dimensioni della base (a e b) mentre il terzo (c) è l’altezza del solido.
Consideriamo la diagonale AC’. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo C’CA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C. per cui, applicando il teorema di Pitagora, avremo che 
AC’ = 




ma C’C corrisponde a c e CA è la diagonale della base che potremo trovare con
e quindi potremo trovare la diagonale del parallelepipedo facendo 
Superficie laterale
Poiché il parallelepipedo è un prisma particolare, la superficie laterale, la superficie totale ed il volume si calcoleranno seguendo le stesse regole scoperte per il prisma.
La superficie laterale di un parallelepipedo si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

Sl = p . h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = Sl/h        h = Sl/p


Superficie totale

St = Sl + 2Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - 2Ab                    Ab = (St – Sl)/2

Volume

Il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = Ab . h
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V/h                  h = V/ Ab


Esercizi
·       In un parallelepipedo rettangolo le due dimensioni della base misurano 15 cm e 6 cm mentre la superficie laterale misura 504 cm2.
Calcola l’area della superficie totale ed il volume.
·         Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 98 cm, le due dimensioni della base sono una i ¾ dell’altra. L’altezza del solido è di 12 cm. Calcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo e l’area della sua superficie totale.
·         In un parallelepipedo rettangolo l’area della superficie totale è 4 560 cm2, gli spigoli della base sono uno i 4/3 dell’altro, la differenza delle loro lunghezze misura 8 cm. Calcola il volume.
·         Un recipiente ha la forma di parallelepipedo rettangolo con le dimensioni interne rispettivamente di 22 cm, 18 cm e 40 cm ed il peso di 1,2 kg.
Se viene riempito per i 4/5 della sua capacità di olio (ps 0,91), quanto peserà?


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Moda, mediana, media e scarto quadratico medio

L’indagine statistica ci permette di ottenere dati e quindi, in primo luogo, ci consente di calcolarne la frequenza, cioè il numero di volte con cui il dato è presente.
Il calcolo della frequenza dipende dal tipo di dato.
Una suddivisione dei dati statistici è quella tra dati discreti e continui. Intendiamo per dati discreti quelli che sono in numero finito ed espresso da numeri naturali. Ad esempio un’indagine che ci restituisca il numero dei visitatori settimanali di una mostra di pittura ci dà dei dati discreti, che possiamo rappresentare direttamente in tabella o con un istogramma.

GIORNI
FREQUENZA
lunedì
15
martedì
32
mercoledì
25
giovedì
20
venerdì
35
sabato
40
domenica
55
Tabella 1


Intendiamo invece per dati continui quelli espressi da numeri reali e che appartengono ad un intervallo.
Ad esempio, un’indagine sulle altezze di un gruppo di giocatori di calcio ci ha dato i seguenti risultati, espressi in metri.
1,79 – 1,81 – 1,81 – 1,82 – 1,83 – 1,76 – 1,79 – 1,77 – 1,81 – 1,80 – 1,82 – 1,85 – 2,00 – 1,82 – 1,83 – 1,74 – 1,76 – 1,77 – 1,77 – 1,78 – 1,71 – 1,70 – 2,02 – 1,87 – 1,71
E’ generalmente difficile trovare giocatori con la stessa altezza, alcuni dati sono presenti una sola volta e quindi avrebbe poco senso parlare di frequenza.

Prendiamo il valore minimo di 1,70 m ed il valore massimo di 2,02 m.
Calcoliamo la differenza (2,02 – 1,70) = 0,32 m trovando così l’ampiezza del raggruppamento.
Ora dobbiamo suddividere questa ampiezza in un numero di intervalli (o classi) uguali: ad esempio in 4 classi di 8 cm ciascuna. Avremo:
I intervallo da 1,70 m a 1,78 m
II intervallo da 1,78 m a 1,86 m
III intervallo da 1,86 m a 1,94 m
IV intervallo da 1,94 m a 2,02 m
Se un dato coincide con il valore di separazione di due classi, viene posto nella classe superiore. Se un giocatore è alto 1,86 m verrà considerato appartenente alla terza classe.
Adesso possiamo contare i giocatori per ogni classe individuata ed otterremo la distribuzione di frequenza. Il simbolo  ÷ sta ad indicare “da …. a ….”
CLASSI DI ALTEZZA
FREQUENZA
1,70 ÷ 1,78
9
1,78 ÷ 1,86
13
1,86 ÷ 1,94
1
1,94 ÷ 2,02
2
Tabella 2


Altri elementi di analisi che possiamo ricavare dai dati statistici sono la moda, la mediana, la media, lo scarto quadratico medio.
MODA
La moda è il dato statistico o la classe di dati che è presente con maggiore frequenza.
Ad esempio, nella tabella 1, la moda è la domenica.
Nella tabella 2 la moda è la classe 1,78 ÷ 1,86.
A cosa può servire la moda?
Se un’azienda ha intenzione di immettere un capo di abbigliamento sul mercato destinato ad una clientela femminile, può essere utile un’indagine per verificare quali taglie siano maggiormente richieste e regolare di conseguenza la produzione e la distribuzione.

MEDIANA
La mediana è il dato che occupa la posizione centrale in una distribuzione di dati disposti in ordine crescente o decrescente.
Consideriamo, ad esempio, le medaglie d’oro vinte da alcuni Stati ai campionati europei di nuoto di Berlino 2014.
Russia
9
Germania
6
Italia
8
Spagna
3
Svezia
3
Francia
5
Danimarca
6
Gran Bretagna
11
Ungheria
5

Ordiniamo i dati in modo crescente:
3 – 3 – 5 – 5 – 6 – 6 – 8 – 9 – 11
I dati sono presenti in numero dispari (9) quindi c’è una sola posizione centrale: la mediana è 6 perché è il dato che occupa il posto centrale.

Consideriamo ora le medaglie d’argento vinte da alcuni Stati sempre ai campionati europei di nuoto di Berlino 2014.
Gran Bretagna
8
Russia
7
Italia
3
Germania
8
Danimarca
1
Ungheria
6
Francia
4
Svezia
6
Spagna
5
Olanda
5


Ordiniamo i dati in modo decrescente:
8 – 8 - 7 – 6 – 6 - 5 – 5 – 4 – 3 – 1
Questa volta il numero dei dati è pari (10), quindi abbiamo due dati centrali: la mediana è la somma di questi due dati divisa per due, nel nostro caso la mediana è 5,5.

Se invece consideriamo dati che presentano ognuno una loro frequenza, dobbiamo ordinarli ripetendo ogni dato il numero di volte indicato dalla frequenza.
Ad esempio, consideriamo i voti raggiunti da una classe durante una verifica.
VOTI
FREQUENZA
4
1
5
2
6
7
7
5
8
5
9
2
10
1

4 – 5 – 5 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 10
La mediana è 7

MEDIA

La media aritmetica è il valore che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo il totale per il numero dei dati.
Consideriamo le altezze dei giocatori già indicate in precedenza e calcoliamo la media, che si indica con 


= (1,79 +  1,81 + 1,81 +  1,82 + 1,83 +  1,76 +  1,79 + 1,77 +  1,81 +  1,80 +  1,82 +  1,85 +  2,00 + 1,82 +  1,83 + 1,74 +  1,76 + 1,77 +  1,77 +  1,78 +  1,71 +  1,70 +  2,02 + 1,87 +  1,71) / 25 = 1,81 (valore arrotondato ai centesimi)

Questo valore medio, preso di per sé, ci indica poco e non ci dà un’idea della frequenza dei dati dispersi attorno al valore medio. Può essere più utile allora considerare lo scarto, cioè la differenza tra un qualsiasi dato x e la media, che ci dà un’idea della distanza del dato dalla media.

Ad esempio lo scarto del dato 1,79 è 1,79 – 1,81 = - 0,02
Lo scarto del dato 1,85 è 1,85 – 1,81 = 0,04

Considerando gli scarti di tutti i dati possiamo ottenere lo scarto quadratico medio, cioè un indice della dispersione dei dati. Come procedere?
Calcoliamo gli scarti di tutti i dati, eleviamoli al quadrato e sommiamoli tra loro, otterremo una somma che dovremo dividere per il numero dei dati. Estraendo poi la radice quadrata troveremo lo scarto quadratico medio che si indica con il simbolo μ.

Otteniamo che μ = 0,07 (valore arrotondato ai centesimi) e possiamo notare che essendo lo scarto quadratico piuttosto piccolo, piccola sarà anche la dispersione dei dati attorno alla media, che quindi è significativa.

ESERCIZI

·        Ai 50 ragazzi di un club sportivo è stato chiesto qual era lo sport preferito; i risultati sono riportati in tabella. Completa la tabella con la percentuale di frequenza. Calcola poi la moda e la mediana
SPORT
Frequenza
%
Nuoto
20

Calcio
12

Ciclismo
6

Sci
3

Basket
3

Tennis
6



·        Al teatro Margherita  è stata registrata la presenza di spettatori  nel mese di aprile. Ecco i dati:

600      610      630      450      470      490      520      550      580      640
730      860      950      930      660      690      670      690      700      720                            
830      780      770      760      910      750      800      840      810      890

Raggruppa i dati nelle cinque classi della tabella, calcolane la distribuzione di frequenza e le percentuali (arrotondate alle unità)
CLASSI DI PRESENZE
FREQUENZA
%
450 ÷ 550
4
13
550 ÷ 650


650 ÷ 750


750 ÷ 850


850 ÷ 950



Qual è la moda tra le classi di presenze?
Calcola la media (arrotondata alle unità) tra i valori:

·        Ad una classe di 24 alunni è stata assegnata una prova di verifica. La tabella riporta i voti conseguiti. Completala calcolando la percentuale (arrotonda alle unità). Calcola la moda, la mediana e la media (arrotondata ai decimi)
N° alunni
Voto
%
1
4
4
3
5

4
6

5
7

6
8

3
9

2
10



MODA:
MEDIANA:

La media è =

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Superficie e volume nell’insieme dei prismi

Abbiamo già visto che i prismi sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.
Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce sono parallelogrammi e si dicono facce laterali; la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.


Un prisma può essere triangolare se il poligono di base è un triangolo, quadrangolare se il poligono di base è un quadrilatero, pentagonale se il poligono di base è un pentagono e così via.


I prismi come quello a sinistra, in cui tutte le facce laterali sono perpendicolari alla base, vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali sono rettangoli mentre l’altezza coincide con gli spigoli laterali, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei parallelogrammi.  
Un prisma può essere regolare se è retto e i poligoni di base sono poligoni regolari: in questo caso le facce laterali sono rettangoli congruenti.

Superficie laterale

Consideriamo un prisma triangolare retto ed il suo sviluppo.


Notiamo che la superficie laterale del prisma coincide con la superficie di un rettangolo, la cui base è congruente al perimetro di base del prisma e la cui altezza è congruente all’altezza del prisma.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un prisma retto si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

Sl = p . h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = Sl/h        h = Sl/p       
Superficie totale

E’ abbastanza evidente che l’area della superficie totale sarà data dalla somma dell’area della superficie laterale e dell’area delle due basi.
St = Sl + 2Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - 2Ab                    Ab = (St – Sl)/2

Volume
Misurare il volume di un solido significa calcolare quante volte l’unità di misura del volume scelta è contenuta nel solido.
Guardiamo questo prisma retto a base quadrata: 


 l’area di base è di 9 cm2 quindi per ricoprire la base occorreranno 9 cm2.
Quanti strati di cm2 saranno necessari per occupare tutto lo spazio del nostro prisma? 7 strati perché l’altezza è di 7 cm.
Il volume del nostro solido misurerà quindi 63 cm3 (3 x 3 x 7).
Abbiamo prima calcolato l’area della base e poi abbiamo moltiplicato per l’altezza.
Il volume di un prisma retto si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = Ab . h
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V/h                  h = V/ Ab

ESERCIZI

·        Un prisma retto ha per base un quadrato la cui area è 225 cm2. L’altezza del prisma è di 26 cm. Calcola l’area della sua superficie totale.
·        Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo con il cateto minore di 100 cm ed il cateto maggiore che è i 21/20 del cateto minore. Sapendo che il prisma è alto 130 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume.
·        Un prisma retto, di volume 5400 cm3, ha per base un rombo avente la diagonale minore e il lato lunghi rispettivamente 18 cm e 15 cm. Calcola l’area della superficie totale.

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
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Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca