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Superficie e volume nell’insieme dei prismi

Abbiamo già visto che i prismi sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.
Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce sono parallelogrammi e si dicono facce laterali; la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.


Un prisma può essere triangolare se il poligono di base è un triangolo, quadrangolare se il poligono di base è un quadrilatero, pentagonale se il poligono di base è un pentagono e così via.


I prismi come quello a sinistra, in cui tutte le facce laterali sono perpendicolari alla base, vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali sono rettangoli mentre l’altezza coincide con gli spigoli laterali, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei parallelogrammi.  
Un prisma può essere regolare se è retto e i poligoni di base sono poligoni regolari: in questo caso le facce laterali sono rettangoli congruenti.

Superficie laterale

Consideriamo un prisma triangolare retto ed il suo sviluppo.


Notiamo che la superficie laterale del prisma coincide con la superficie di un rettangolo, la cui base è congruente al perimetro di base del prisma e la cui altezza è congruente all’altezza del prisma.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un prisma retto si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

Sl = p . h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = Sl/h        h = Sl/p       
Superficie totale

E’ abbastanza evidente che l’area della superficie totale sarà data dalla somma dell’area della superficie laterale e dell’area delle due basi.
St = Sl + 2Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - 2Ab                    Ab = (St – Sl)/2

Volume
Misurare il volume di un solido significa calcolare quante volte l’unità di misura del volume scelta è contenuta nel solido.
Guardiamo questo prisma retto a base quadrata: 


 l’area di base è di 9 cm2 quindi per ricoprire la base occorreranno 9 cm2.
Quanti strati di cm2 saranno necessari per occupare tutto lo spazio del nostro prisma? 7 strati perché l’altezza è di 7 cm.
Il volume del nostro solido misurerà quindi 63 cm3 (3 x 3 x 7).
Abbiamo prima calcolato l’area della base e poi abbiamo moltiplicato per l’altezza.
Il volume di un prisma retto si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = Ab . h
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V/h                  h = V/ Ab

ESERCIZI

·        Un prisma retto ha per base un quadrato la cui area è 225 cm2. L’altezza del prisma è di 26 cm. Calcola l’area della sua superficie totale.
·        Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo con il cateto minore di 100 cm ed il cateto maggiore che è i 21/20 del cateto minore. Sapendo che il prisma è alto 130 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume.
·        Un prisma retto, di volume 5400 cm3, ha per base un rombo avente la diagonale minore e il lato lunghi rispettivamente 18 cm e 15 cm. Calcola l’area della superficie totale.

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Rappresentazione grafica di dati statistici


Consideriamo la seguente tabella della Fieg relativa alla vendita dei principali quotidiani nazionali nel 2003

Anno 2003
Avvenire
25.502.958
Corriere della Sera
239.181.387
Il Giornale
71.436.953
Il Giorno
28.641.650
Il Messaggero
87.085.316
La Repubblica
220.387.954
La Stampa
127.787.078
Libero
14.211.140
Tabella 1

I dati tabulati possono essere rappresentati graficamente in modi diversi.

Iniziamo con l’ideogramma. Possiamo arrotondare i valori alle unità di milione per facilitare la rappresentazione. Stabiliamo un simbolo da usare e un suo valore che deve essere appropriato alle quantità da rappresentare e procediamo alla rappresentazione.

Potremmo rappresentare anche usando un istogramma.


Ampliamo la tabella considerando un altro anno: abbiamo in questo caso una tabella multipla.


Anno 2003
Anno 2004
Avvenire
25.502.958
26.849.628
Corriere della Sera
239.181.387
239.665.546
Il Giornale
71.436.953
63.061.990
Il Giorno
28.641.650
21.803.180
Il Messaggero
87.085.316
84.553.520
La Repubblica
220.387.954
233.257.554
La Stampa
127.787.078
121.564.767
Libero
14.211.140
20.601.094
Tabella 3

Potremmo rappresentare anche questa tabella con un istogramma di questo tipo.


Possiamo anche trasformare i dati della tabella 1 in valori percentuali (ad esempio per Avvenire useremo questo metodo: 25.502.958 x 100 : 814.234.436 = 3,13… arrotondato a 3) e poi utilizzare un’altra rappresentazione grafica: l’areogramma.


Anno 2003
%
Avvenire
25.502.958
3
Corriere della Sera
239.181.387
29
Il Giornale
71.436.953
9
Il Giorno
28.641.650
3
Il Messaggero
87.085.316
11
La Repubblica
220.387.954
27
La Stampa
127.787.078
16
Libero
14.211.140
2
Totale
814.234.436




Per realizzare l’areogramma senza utilizzare programmi come Excel ci conviene, come abbiamo già fatto, calcolare il valore percentuale delle quantità considerate e poi rapportarlo a 360°.
Ad esempio:

La Stampa 16%

La Repubblica 27%
16 : 100 = x : 360

27 : 100 = x : 360

x = (360 x 16) : 100 = 57,60 che potremo arrotondare a 58°

x = (360 x 27) : 100 = 97,20 che potremo arrotondare a 97°


A questo punto sarà sufficiente, con l’aiuto del goniometro, individuare un angolo di 58° ed uno di 97° nel nostro angolo giro.


Consideriamo ora anche l’anno 2005 (per la chiarezza nella lettura del grafico mi limito a 5 quotidiani).


Anno 2003
Anno 2004
Anno 2005
Corriere della Sera
239.181.387
239.665.546
234.589.618
Il Messaggero
87.085.316
84.553.520
81.015.705
La Repubblica
220.387.954
233.257.554
219.169.418
La Stampa
127.787.078
121.564.767
108.850.770
Libero
14.211.140
20.601.094
24.302.104

Per poter cogliere visivamente l’andamento delle vendite, il grafico più utile è il diagramma cartesiano.


Notiamo subito una tendenza al calo delle vendite, soprattutto per La Stampa, il Corriere della Sera ed il Messaggero. Altalenante è l’andamento de La Repubblica mentre invece sono cresciute le vendite di Libero.

ESERCIZI

·        I risultati di una verifica effettuata in una classe di 26 alunni ha dato i seguenti risultati:
voto 5: 3 alunni; voto 6: 2 alunni; voto 7: 7 alunni; voto 8: 4 alunni; voto 9: 7 alunni; voto 10: 3 alunni.
Inserisci i dati in una tabella, calcola la percentuale e rappresenta con un istogramma.
·        Considera ora questa tabella multipla in cui i precedenti voti sono stati specificati per genere. Rappresenta con un istogramma.
VOTI
MASCHI
FEMMINE
5
2
1
6
2

7
3
4
8
1
3
9
3
4
10
2
1


·        Calcola le percentuali arrotondate e rappresenta con un areogramma.
Province
 Popolazione
residenti
%
AVELLINO
427.936

BENEVENTO
282.321

CASERTA
924.614

NAPOLI
3.118.149

SALERNO
1.108.509

TOTALE
5.861.529
100



·        Ecco una tabella relativa alle autovetture circolanti in Italia. I dati sono per 1000 abitanti. Realizza un diagramma cartesiano

Anno
Autovetture circolanti
1961
48
1971
209

1981
329

1991
501

2001
584

2009
606


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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca