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Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.
Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale


La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.
Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Sl = (C  . a)/2 oppure Sl = πra
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = Sl .2 /a       a = Sl .2 /C  oppure a = Sl / πr         r =  Sl / πa

Superficie totale
L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - Ab                    Ab = St – Sl

Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.
Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.
V = (Ab . h)/ 3 oppure V = πr2h/3
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V  . 3 /h                  h = V  . 3 / Ab oppure V  . 3 / πr2



ESERCIZI

  • Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm2. Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

  • In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm2. Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.
  • Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m2. Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.
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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca